Clasificar por similitud todos $n\times n$ matrices complejas tales que $A^n=I$

Question

Clasificar por similitud todos $n\times n$ matrices complejas tales que $A^n=I$ .

He visto esta pregunta para $n=3$ . Pero me preguntaba cómo generalizar este resultado.

En primer lugar $A^n=I$ es diagonalizable. Así que es similar a alguna matriz diagonalizable. Así que su polinomio mínimo es el producto de factores lineales distintos.

Sea $J$ sea la forma de Jordan de $A$ . Creo que todos los bloques Jordan deberían ser de tamaño uno. Ya que es capaz de ser factorizado en polinomios mónicos distintos. Esto significa que cada raíz tendrá multiplicidad de $1$ . Por lo tanto, cada bloque Jordan será de tamaño uno. Así que $A$ es similar a una matriz diagonal con valores propios distintos.

Answer 1

Me parece que las respuestas, especialmente la de khalatnikov, se extienden a n arbitrario. Tu matriz es, hasta la similitud, una matriz diagonal en la que todas las entradas diagonales son raíces n-ésimas de la unidad.

Por tanto, A es similar a una matriz diagonal con valores propios distintos.

La matriz identidad es una solución trivial, pero no tiene valores propios distintos.