-
Expansión perturbativa. OP's $\phi^4$ es un caso especial. Consideremos una acción general de la forma $$ S[\phi] ~:=~\underbrace{S_2[\phi]}_{\text{quadratic part}} + \underbrace{S_{\neq 2}[\phi]}_{\text{the rest}}, \tag{1} $$ con parte cuadrática no degenerada $^1$ $$ S_2[\phi] ~:=~\frac{1}{2} \phi^k (S_2)_{k\ell} \phi^{\ell} . \tag{2} $$ El resto $^2$ $S_{\neq 2}=S_0+S_1+S_{\geq 3}$ contiene términos constantes $S_0$ Términos de renacuajo $S_1[\phi]=S_{1,k}\phi^k$ y los términos de interacción $S_{\geq 3}[\phi]$ .
-
La función de partición $Z[J]$ puede escribirse formalmente como $$\begin{align} Z[J] ~:=~& \int {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\left(S[\phi] +J_k \phi^k \right)\right\} \cr ~\stackrel{(1)}{=}~& \exp\left\{\frac{i}{\hbar} S_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\}\cr &\int {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\left(S_2[\phi] +J_k \phi^k \right)\right\} \cr \stackrel{\text{Gauss. int.}}{\sim}&~ {\rm Det}\left(\frac{1}{i} (S_2)_{mn}\right)^{-1/2}\cr &\exp\left\{\frac{i}{\hbar} S_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\} \cr &\exp\left\{- \frac{i}{2\hbar} J_k (S_2^{-1})^{k\ell} J_{\ell} \right\}, \end{align}\tag{3} $$ tras una integración gaussiana. Aquí $^1$ $$ G^{k\ell}~=~-(S_2^{-1})^{k\ell} \tag{4}$$ es el propagador libre. El lado derecho de la ecuación (3) representa la suma de todos los $^3$ Diagramas de Feynman construidos a partir de vértices, propagadores libres y fuentes externas $J_k$ .
-
Ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) $^4$ $$ - J_k ~\approx~\frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi^k}~\stackrel{(1)+(2)}{=}~ (S_2)_{k\ell}\phi^{\ell} +\frac{\delta S_{\neq 2}[\phi]}{\delta \phi^k} \tag{5}$$ puede convertirse en una ecuación de punto fijo $^5$ $$\phi^{\ell}~\approx~-(S_2^{-1})^{\ell k}\left( J_k + \frac{\delta S_{\neq 2}[\phi]}{\delta \phi^k} \right),\tag{6}$$ cuyas iteraciones repetidas generan (enraizadas dirigidas) árboles (con un $\phi^{\ell}$ como raíz, y $J$ s y renacuajos como hojas), a diferencia de los diagramas de bucle, cf. el cálculo de OP. Esto responde a las preguntas de OP.
Por último, mencionemos a continuación algunos datos que esperamos sean útiles más allá del nivel de los árboles.
I) El teorema del racimo enlazado . La función generadora de diagramas conexos es $$ W_c[J]~=~\frac{\hbar}{i}\ln Z[J]. \tag{7}$$
Para una prueba, véase, por ejemplo este Phys.SE post. Así que es suficiente para estudiar diagramas conectados.
II) En $\hbar$ /expansión de bucle. Supongamos que el $S[\phi]$ la acción (1) no $^6$ dependen explícitamente de $\hbar$ . Entonces el orden de $\hbar$ en un diagrama conexo con $E$ patas exteriores $^7$ es el número $L$ de bucles independientes, es decir, el número de $4$ -vector de onda $^8$ integraciones.
Prueba. Seguimos aquí la Ref. 1. Sea $I$ el número de propagadores internos y $V$ el número de vértices.
Por un lado, para cada vértice existe una función delta de Dirac de 4 vectores de onda. Excepto para 1 vértice, porque las patas externas ya satisfacen la conservación del vector de onda total. (Recordemos que la invariancia de traslación del espaciotiempo implica que cada diagrama de Feynman conectado en el espacio vectorial de onda es proporcional a una función delta de Dirac que impone la conservación total del vector de 4 ondas). El $V$ Los vértices sólo producen $V-1$ restricciones entre los $I$ integraciones vectoriales de onda. En otras palabras, el número de bucles independientes es $^9$ $$L~=~I-(V-1). \tag{8}$$ Por otra parte, se deduce $^{10}$ de la RHS de la eq. (3) que tenemos una $\hbar$ para cada propagador interno, ninguno para cada tramo externo y uno $\hbar^{-1}$ para cada vértice. También hay un único factor adicional de $\hbar$ del lado derecho de la ec. (7). En total, la potencia de $\hbar$ s del diagrama conexo es $$ \hbar^{I-V+1}~\stackrel{(8)}{=}~\hbar^{L},\tag{9}$$ es decir, igual al número $L$ de bucles. $\Box$
III) En particular, la función generadora de diagramas conexos $$W_c[J]~=~W_c^{\rm tree}[J]+W_c^{\rm loops}[J]~\in~ \mathbb{C}[[\hbar]]\tag{10} $$ es un serie power en $\hbar$ es decir, contiene no poderes negativos de $\hbar$ . En cambio, la función de partición $$Z[J]~=~\underbrace{\exp(\frac{i}{\hbar}W_c^{\rm tree}[J])}_{\in \mathbb{C}[[\hbar^{-1}]]}~\underbrace{\exp(\frac{i}{\hbar}W_c^{\rm loops}[J])}_{\in \mathbb{C}[[\hbar]]}\tag{11}$$ es un Serie Laurent en $\hbar$ .
Referencias:
- C. Itzykson & J.B. Zuber, QFT, 1985, Sección 6-2-1, p.287-288.
--
$^1$ Utilizamos Notación condensada DeWitt para no desordenar la notación. Si deletreamos la ec. (2) en todo su esplendor, queda como sigue $$S_2[\phi]~=~\frac{1}{2}\int\!d^dx\int\!d^dy~\phi^{\alpha}(x)~(S_2)_{\alpha\beta}(x,y)~\phi^{\beta}(y)\tag{12}$$ tras una posible integración por partes. Aquí el núcleo de integración es típicamente de la forma $$(S_2)_{\alpha\beta}(x,y)~=~\delta_{\alpha\beta}~(\Box-m^2)\delta^d(x-y)\tag{13}$$ con el $(-,+,...,+)$ Convención de signos de Minkowski. Si imponemos las condiciones de contorno apropiadas en la ec. (4), el núcleo de integración inversa $$(S_2^{-1})^{\alpha\beta}(x,y)~=~\delta^{\alpha\beta}~(\Box-m^2)^{-1}\delta^d(x-y)~=~-G^{\alpha\beta}(x,y)\tag{14}$$ es menos la función de Greens $$(-\Box+m^2)G^{\alpha\beta}(x,y)~=~\delta^{\alpha\beta} ~\delta^d(x-y)\tag{15}$$ con transformada de Fourier $$\widetilde{G}^{\alpha\beta}(k)~=~\frac{\delta^{\alpha\beta}}{k^2+m^2-i\epsilon}.\tag{16}$$
$^2$ Si dividimos la acción $$S[\phi] ~=~\underbrace{S_1[\phi]+S_2[\phi]}_{\text{free part}}+\underbrace{S_{\neq 12}[\phi]}_{\text{the rest}}\tag{17}$$ (incluyendo los renacuajos en la parte libre), entonces el factor propagador en el lado derecho de la ec. (3) se convierte en $$\exp\left\{- \frac{i}{2\hbar} (S_{1,k}+J_k) (S_2^{-1})^{k\ell} (S_{1,\ell}+J_{\ell}) \right\}.\tag{18}$$ A la inversa, podríamos permitir formalmente términos cuadráticos en el $S_{\neq 2}$ por ejemplo, si queremos tratar un término de masa como una interacción de 2 vértices. Esto, por supuesto, arruinaría la lógica detrás de la etiqueta de subíndice de la notación $S_{\neq 2}$ pero es un premio aceptable:)
$^3$ El factor determinante gaussiano ${\rm Det}\left(\frac{1}{i} (S_2)_{mn}\right)^{-1/2}$ (que normalmente ignoramos) se interpreta como diagramas de Feynman construidos sólo a partir de propagadores libres sin vértices, aunque la interpretación precisa es bastante sutil. Por ejemplo, nótese que si reclasificamos el término de masa en el propagador libre como un $2$ -vértice-interacción, la contribución de masa se desplaza del factor determinante a la parte de interacción en la ec. (3).
$^4$ En $\approx$ significa igualdad módulo eqs. de movimiento.
$^5$ De hecho, la ec. (6) puede verse como una operad . Un poco simplificado, aunque un operador tiene una entrada y una salida, una operada puede tener varias entradas, pero sólo una salida. Las operadas pueden componerse juntas y formar así un árbol (rooteado y dirigido) (en el que la única salida es la raíz).
$^6$ Para mantener la acción $S$ sin explicitar $\hbar$ -podríamos tener que redefinir adecuadamente parámetros de masa $m^{\prime}=\frac{mc}{\hbar}$ , constantes de acoplamiento $e^{\prime}=\frac{e}{\hbar}$ etc. Si los términos de interacción en la acción $S$ dependen de $\hbar$ un diagrama contendrá la potencia de bucle habitual $L$ de $\hbar$ s más un número de potencias de $\hbar$ de los vértices correspondientes.
$^7$ Suponemos que las fuentes $J_k$ se eliminan del diagrama de Feynman o son funciones delta en el espacio vectorial de onda, de modo que las patas externas llevan vectores de 4 ondas fijos.
$^8$ Para no introducir factores adicionales de $\hbar$ cuando hagamos la transformada de Fourier, trabajemos con 4- vector de onda $k$ en lugar de 4-momentum $p=\hbar k$ .
$^9$ Si el diagrama de Feynman es plano, entonces es un malla poligonal de un disco es decir, su Característica de Euler es $\chi=1$ . Comparando con la ec. (8), vemos que el número $L$ de bucles independientes es entonces el número de caras.
$^{10}$ El lado derecho de la ecuación (3) indica que un propagador unido a $n$ fuentes contribuye con un factor $\hbar^{1-n}$ donde $n\in\{0,1,2\}$ .
pero realmente no se produce en el cálculo clásico anterior.
