Paradoja del colapso de la función de onda en un estado no físico

Question

"Una medición siempre hace que el sistema salte a un eigenestado de la variable dinámica que se está midiendo, siendo el eigenvalor al que pertenece este eigenestado igual al resultado de la medición."

-P.A.M. Dirac, Los principios de la mecánica cuántica

Este es uno de los postulados de la mecánica cuántica. Sin embargo, hay algunos casos en los que esta afirmación conduce a contradicciones.

Por ejemplo, sabemos que las funciones propias del operador de momento (en 1D para simplificar)

$$\hat p = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$$

son ondas planas:

$$\psi_p(x) = A e^{ipx/\hbar}$$

Estas funciones propias no son normalizables y, por tanto, no son aceptables como estados físicos.

Si intentamos aplicar el postulado citado al operador de momento, incurriríamos por tanto en una contradicción: el sistema no puede saltar a un estado propio del operador de momento, porque tal estado propio no sería normalizable y por tanto no sería un estado físico.

Esta paradoja se suele descartar diciendo que esta línea de razonamiento se aplica a un ideal medición, que no puede realizarse en la práctica, y que para la medición no ideal la situación es diferente. Pero esta respuesta no me parece satisfactoria: aunque tiene sentido, no queda claro cuál es la razón teórica por qué una medición ideal no es realizable.

Parece que sólo hay dos soluciones posibles a esta paradoja:

1. El postulado citado es erróneo.
2. El operador de momento está algo mal definido: por ejemplo, quizá no podamos tomar su dominio como el conjunto de todas las funciones (*) suficientemente regulares $f \in L^2(\mathbb R)$ como solemos hacer. En este caso, tal vez sea posible dar una definición del operador de momento que concuerde con el postulado citado.

¿Cuál es la posible solución a esta paradoja?

PS: Por lo que a mí respecta, está perfectamente bien responder que la solución es que una medición ideal no es físicamente realizable en la práctica, pero sólo si tal afirmación se respalda con argumentos teóricos rigurosos que expliquen por qué este es el caso.

(*) A veces, la condición impuesta es la continuidad absoluta de $f$ pero no sé si se puede relajar.

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Actualizaciones

• Preguntas y respuestas relacionadas:

- Medición de observables con espectro continuo: Estado del sistema después (sugerido por ACuriousMind). Después de algunas discusiones, el autor añadió un Addendum maravilloso que tal vez puede ser considerado como una respuesta a esta pregunta.

- Mecánica cuántica: medir la posición .

• Artículos relacionados:

He encontrado este artículo y este artículo (descarga gratuita) que tratan exactamente de este problema, pero son bastante técnicos y aún tengo que profundizar en ellos.

Answer 1

La cuestión es ésta:

Existen dos tipos de funciones propias de los operadores hermitianos. Las que admiten espectros discretos (los valores propios están separados entre sí) y las otras, espectros continuos (los valores propios llenan todo un rango). Si el espectro es continuo, entonces NO representan posibles funciones de onda (sólo una combinación lineal de ellas.....sí, una especie de paquete de ondas gaussiano puede ser normalizable). En el caso de operadores de momento, $$\frac{\hbar}{i}\frac{\partial f_p(x)}{\partial x} = pf_p(x)$$ .... $f_p(x)$ es una función propia del momento.... resolviendo lo anterior se obtiene $$f_p(x) = Ae^{\frac{ipx}{\hbar}}$$ que no es un cuadrado integrable.

Pero como el momento es un observable, sólo tomamos valores reales de p y utilizamos la ortonormalidad de dirac por $$\int_{-\infty}^{\infty}f^*_{p^\prime}(x)f_p(p)dx = |A^2|\int_{-\infty}^{\infty}e^\frac{(p^\prime-p)x}{\hbar}dx = |A^2|2\pi\hbar\delta(p-p^\prime)$$ y luego elegir $A=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}$ tenemos $$\langle f_{p^\prime}|f_p\rangle = \delta(p-p^\prime)$$ ......

Ahora bien, esto significa que las funciones propias del momento son sinusoidales (esto en sí mismo es irrealizable ya que cualquier onda sinusoidal VERDADERA o PERFECTA tiene que extenderse desde $-\infty$ a $\infty$ )

Pero hay no tal cosa como una partícula con momento definido el principio de incertidumbre de heisenberg........ también implica que la medición no puede colapsar una función de onda a un estado propio con un momento perfectamente definido

Por eso hacemos un paquete de ondas normalizable con un estrecho rango de momentos..... para que todo sea físicamente realizable. Ninguna de las funciones propias de $\hat p$ viven en el espacio de Hilbert, pero sí las que tienen valores propios reales (paquetes de ondas) y son normalizables por Dirac. Ellas (eigenfunciones de $\hat p$ ) no representan estados físicos posibles, pero son muy útiles en problemas como la dispersión desde una colina de potencial o una barrera.

Referencia :- Griffiths, Introducción a la Mecánica Cuántica

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EDITAR

Por favor, no upvote mi respuesta, ya que no aborda completamente las preocupaciones planteadas por OP (echa un vistazo a la sección de comentarios debajo de esta respuesta), es decir, un tratamiento formal de 'wavepacket'(no función de onda) colapso.....i estoy terriblemente lo siento si invocar tal declaración es incorrecta. En el mejor de los casos, mi respuesta está parcialmente completa.

Answer 2

Esta respuesta llega muy tarde, pero creo que merece la pena poner una respuesta física aunque hayas pedido una matemática.

En primer lugar, considere una medida de posición. Si hiciéramos una medida de posición ideal, la función de onda colapsaría a un estado propio de posición, que no es normalizable y, por tanto, no es un estado físico válido. La resolución es que las medidas de posición ideales no existen en realidad, porque las medidas reales tienen solución finita.

Supongamos que su medición sólo puede devolver valores enteros en algunas unidades. En ese caso, estará midiendo el operador $$\hat{x}_{\text{f}} = \lfloor \hat{x} \rfloor $$ donde la función suelo de un operador se define elementalmente: si $\hat{x} | x \rangle = x |x \rangle$ entonces $$\hat{x}_f | x \rangle = \lfloor x \rfloor |x \rangle.$$ Como resultado, todos los Estados $|x' \rangle$ para $x' \in [n, n+1)$ son vectores propios degenerados de $\hat{x}_f$ . Todas las posiciones de este rango corresponden al mismo resultado de medición $n$ .

En el caso de la degeneración, el postulado del colapso se generaliza ligeramente. El espacio de Hilbert se divide ahora en subespacios ortogonales, uno por cada valor propio distinto del operador medido. Al medir ese operador, el vector de estado colapsa a su proyección en uno de estos subespacios, con probabilidad proporcional a la magnitud al cuadrado de su proyección. (Esto se reduce al postulado que da Dirac cuando todos los subespacios son unidimensionales, es decir, sin degeneración).

Por lo tanto, si se tiene un estado con función de onda $\psi(x)$ y medir $\hat{x}_f$ lo contraes a $$\psi'(x) = \psi(x) \cdot \begin{cases} 1 & n \leq x < n+1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ si el resultado de su medición es $n$ . Este estado es perfectamente normalizable.

La misma lógica se aplica a $\hat{p}$ En el espacio de Fourier, con la lógica anterior, en lugar de en el espacio real, se llega a la misma conclusión: se obtiene un estado final normalizable de anchura finita en el espacio de Fourier, que corresponde a un paquete de ondas en el espacio real.

Así que todo funciona... ¡¿pero es "riguroso"?! Bueno, el objetivo de la mecánica cuántica es predecir resultados físicos. El propósito de formularla en términos de postulados es sólo darnos una base concreta para calcular los resultados, con el objetivo último de que coincidan con los experimentos. Es bien sabido que si se toman al pie de la letra los postulados enunciados por Dirac y se utilizan para calcular cantidades no físicas, se pueden obtener todo tipo de contradicciones matemáticas: sus postulados son chapuceros incluso para los estándares de los físicos. Seguimos enseñándolos porque funcionan para cualquier experimento que podamos realizar.

Si quisieras ser "riguroso", lo harías añadiendo montones de postulados extra que equivalen a decir "no se te permite usar $\hat{x}$ en el postulado del colapso, pero cosas como $\hat{x}_f$ está bien". Pero al físico experimental no le importará en absoluto, porque han siempre saben que hay limitaciones en lo que pueden medir, postulados extravagantes o no.

Answer 3

Aquí creo que está la resolución a la paradoja primero recuerda que la cita que diste arriba corresponde a $Hermitian $ operadores. La idea clave es la siguiente:

El operador de momento no es un operador hermitiano en el espacio de funciones en el que las ondas planas son miembros y pueden considerarse como funciones propias del operador de momento. En este dominio ampliado, el operador de momento no corresponde a ninguna medida.

Para que los operadores de momento sean hermitianos nos gustaría demostrar que $ \int \phi^* P \psi = \int P^*\phi^* \psi $ . Consideremos como probamos que el operador de momento es Hermitiano, hacemos el siguiente cálculo: $ \int \phi^*(-i \hbar \frac{d}{dx} \psi) dx = -i \hbar( \phi^* \psi |^{\infty}_{-\infty} - \int \frac{d}{dx}\phi^* \psi dx ) $ . Obsérvese que para el primer término del lado derecho la función tiene que desaparecer en $\pm \infty $ . Si esto ocurre entonces el operador de momento es igual a su adjunto hermitiano y por tanto es hermitiano. Esto excluye las ondas planas porque no desaparecen en $\pm \infty $ . Así pues, el operador de momento no es hermitiano en el espacio de funciones del que forman parte las ondas planas. Por lo tanto, el operador de momento no corresponde a ninguna medida física en este espacio de funciones.

Creo que la resolución no tiene nada que ver con que la medición sea ideal o no, con que el operador de momento esté mal definido o no. El operador de momento no corresponde a ninguna medida sea ideal o no si actúa en un dominio extendido que incluye ondas planas porque no es hermitiano en este dominio extendido.