Forma cerrada de $a_{n+1}=\sqrt{a_n+1}, a_1=1$

Question

Me gustaría encontrar el término general, forma cerrada o solución analítica para la relación de recurrencia $a_{n+1}=\sqrt{a_n+1},a_1=1$ .

He buscado por internet pero no he encontrado mucho sobre este problema. Si alguien conoce algún artículo o investigación sobre este problema, me gustaría saberlo.

Mi investigación:

• La secuencia es una secuencia creciente acotada y converge a $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

• La secuencia es contractiva .

• Un problema similar $a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}, a_1=\sqrt{2}$ tiene una forma cerrada $a_n=2\cos{\frac{\pi}{2^{n+1}}}$ .

• Un problema similar $a_{n+1}=a_{n}^2+c$ no(?) tiene una solución sencilla excepto para $c=0,-2$ (No estoy seguro de entender lo que está escrito aquí)

La 3ª página web y la 4ª página web parecen estar relacionadas ya que la ecuación $a_{n+1}=a_{n}^2+c$ se convierte en $a_n=\sqrt{a_{n+1}-c}$ y si intercambiamos $a_n,a_{n+1}$ y establece $c=-2$ (que es uno de los valores mencionados) obtenemos $a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}$ . Sin embargo, no sé cómo aprovechar esta conexión.

Answer 1

Puede que no sea exactamente lo que busca, pero se le acerca.

Definir las constantes $$ s:=\sqrt{5},\; g:=(1+s)/2,\text{ and } c\approx -2.1972839287883129714.$$ Definir mediante series de potencias la función

$$ T(x) := x + \frac{5 - s}{20} x^2 + \frac{5 s - 11}{20} x^3 + \frac{497 s - 1110}{3800} x^4 + \cdots. $$

Definir las secuencias

$$ b_n := T(c\cdot(2g)^{-n}), \qquad a_n := g+b_n. $$

Tenga en cuenta que $\,\lim_{n\to\infty} b_n = 0\,$ y $\,\lim_{n\to\infty} a_n = g.\,$ La secuencia $\,a_n\,$ satisface

$$ a_{n+1}=\sqrt{a_n+1},\qquad a_1=1. $$

Lamentablemente, sólo puedo determinar los coeficientes de $\,T(x)\,$ uno por uno y no tienen forma cerrada para la función misma o sus coeficientes.

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Aquí encontrará más información. La idea es garantizar que

$$ g \!+\! T(x) \!=\! \sqrt{g^2 \!+\! T(2gx)},\; \text{ or }\;T(x)^2\!=\! T(2gx) \!-\! 2gT(x). $$

Dada la definición de $\,a_n\,$ esto implica que $\,a_{n+1} = \sqrt{a_n+1}.\,$

Utilice el método de los coeficientes indeterminados, para resolver para los coeficientes de $\,T(x)\,$ uno por uno. Por ejemplo, supongamos que $\, T(x) = x + u_2x^2 + O(x^3).\,$ A continuación, utilice $\, x^2 + O(x^3) = (2gx + u_2(2gx)^2) - (2gx + 2gu_2x^2) = (5+s)u_2x^2\,$ para resolver $\,u_2.$

El valor de $\,c\,$ se determina como el valor único que produce $\,a_1 = 1.\,$ Además, es el límite $\,c = \lim_{n\to\infty} b_n(2g)^n.\,$