Fermión clásico y número de Grassmann

Question

En la teoría de las ecuaciones de onda relativistas, derivamos la ecuación de Dirac y la ecuación de Klein-Gordon utilizando la teoría de representación del álgebra de Poincare.

Por ejemplo, en este documento

http://arxiv.org/abs/0809.4942

la ecuación de Dirac en el espacio de momento (ecuación [52], [57] y [58]) puede deducirse a partir del estado de 1 partícula de la representación unitaria irreducible del álgebra de Poincare (ecuación [18] y [19]). La función de onda ordinaria en el espacio de posición es su transformada de Fourier (ecuación [53], [62] y [65]).

Obsérvese en este punto que esta ecuación de Dirac es simplemente una ecuación de onda clásica, es decir, sus soluciones son los clásicos 4-espinores de Dirac, que toman valores en $\Bbb{C}^{2}\oplus\Bbb{C}^{2}$ .

Si consideramos las ondas de Dirac $\psi(x)$ y $\bar{\psi}(x)$ como "campos clásicos", entonces los campos de Dirac cuantizados se obtienen promoviéndolos a osciladores armónicos fermiónicos.

Lo que no entiendo es que cuando estamos haciendo la cuantización camino-integral de los campos de Dirac, estamos, de hecho, tratando $\psi$ y $\bar{\psi}$ como números de Grassmann, que para mí son contraintuitivos. Según tengo entendido, hacemos la integral de trayectoria sumando sobre todos los "campos clásicos". Mientras que la "onda clásica de Dirac $\psi(x)$ ' que derivamos al principio son simplemente 4-espinores viviendo en $\Bbb{C}^{2}\oplus\Bbb{C}^{2}$ . ¿Cómo pueden tratarse en cambio como números de Grassmann?

Tal y como yo lo veo, los físicos intentan construir un "análogo clásico" de los fermiones que son objetos puramente cuánticos. Por ejemplo, si partimos de un anticomutador cuántico

$$[\psi,\psi^{\dagger}]_{+}=i\hbar1 \quad\text{and}\quad [\psi,\psi]_{+}=[\psi^{\dagger},\psi^{\dagger}]_{+}=0, $$

entonces podemos obtener los números de Grassmann en el límite clásico $\hbar\rightarrow0$ . Así es como yo solía entender los números de Grassmann. El problema es que si los números de Grassmann son realmente una especie de límite clásico de los operadores anticonmutativos en el espacio de Hilbert, entonces el límite $\hbar\rightarrow0$ no tiene ningún sentido desde el punto de vista físico, ya que en este límite $\hbar\rightarrow0$ los observables de espín desaparecen totalmente y lo que obtenemos entonces sería un $0$ que es una teoría trivial.

Por favor, dígame cómo se relacionan exactamente los fermiones cuánticos con los números de Grassmann.

Answer 1

$\require{cancel}$

1. En primer lugar, recordemos que un soporte super-Lie $[\cdot,\cdot]_{LB}$ (como, por ejemplo, un soporte super-Poisson $\{\cdot,\cdot\}$ y el supercomutador $[\cdot,\cdot]$ ), satisface la superantisimetría $$ [f,g]_{LB} ~=~ -(-1)^{|f||g|}[g,f]_{LB},\tag{1} $$ y la identidad super-Jacobi $$\sum_{\text{cycl. }f,g,h} (-1)^{|f||h|}[[f,g]_{LB},h]_{LB}~=~0.\tag{2}$$ Aquí $|f|$ denota la paridad de Grassmann del elemento del álgebra de super-Lie $f$ . En relación con supernúmeros véase también, por ejemplo este Post de Phys.SE y enlaces al mismo.

2. Para garantizar que el espacio de Hilbert no tiene estados de norma negativa y que el estado de vacío no tiene excitaciones de energía negativa, el campo de Dirac debe cuantizarse con relaciones de anticonmutación $$ [\hat{\psi}_{\alpha}({\bf x},t), \hat{\psi}^{\dagger}_{\beta}({\bf y},t)]_{+} ~=~ \hbar\delta_{\alpha\beta}~\delta^3({\bf x}-{\bf y})\hat{\bf 1} ~=~[\hat{\psi}^{\dagger}_{\alpha}({\bf x},t), \hat{\psi}_{\beta}({\bf y},t)]_{+}, $$ $$ [\hat{\psi}_{\alpha}({\bf x},t), \hat{\psi}_{\beta}({\bf y},t)]_{+} ~=~ 0, \qquad [\hat{\psi}^{\dagger}_{\alpha}({\bf x},t), \hat{\psi}^{\dagger}_{\beta}({\bf y},t)]_{+}~=~ 0, \tag{3} $$ en lugar de con relaciones de conmutación, cf. p.ej. Ref. 1 y este Correo de Phys.SE.

3. Según el principio de correspondencia entre la física cuántica y la clásica, el supercomutador es $i\hbar$ veces el corchete de super-Poisson (hasta un posible mayor $\hbar$ -correcciones), cf. por ejemplo este Correo de Phys.SE. Por lo tanto, los correspondientes corchetes fundamentales de super-Poisson son los siguientes $^1$
   $$ \{\psi_{\alpha}({\bf x},t), \psi^{\ast}_{\beta}({\bf y},t)\} ~=~ -i\delta_{\alpha\beta}~\delta^3({\bf x}-{\bf y}) ~=~\{\psi^{\ast}_{\alpha}({\bf x},t), \psi_{\beta}({\bf y},t)\}, $$ $$ \{\psi_{\alpha}({\bf x},t), \psi_{\beta}({\bf y},t)\} ~=~ 0, \qquad \{\psi^{\ast}_{\alpha}({\bf x},t), \psi^{\ast}_{\beta}({\bf y},t)\}~=~ 0. \tag{4} $$

4. Comparando las ecs. (1), (3) y (4), queda claro que el campo de Dirac es Grassmann-impar, tanto como campo cuántico valorado por el operador $\hat{\psi}_{\alpha}$ y como campo clásico supernumerado $\psi_{\alpha}$ .

5. Es interesante que la densidad del lagrangiano libre de Dirac $^2$ $$ {\cal L}~=~\bar{\psi}(\frac{i}{2}\stackrel{\leftrightarrow}{\cancel{\partial}} -m)\psi \tag{5} $$ es (i) real, y (ii) su Ecuación de Euler-Lagrange (EL) es el Ecuación de Dirac $^3$
   $$(i\cancel{\partial} -m)\psi~\approx~0,\tag{6}$$ independientemente de la paridad de Grassmann de $\psi$ ¡!

6. La propia ecuación de Dirac (6) es lineal en $\psi$ y, por tanto, agnóstico respecto a la paridad de Grassmann de $\psi$ .

Referencias:

1. M.E. Peskin y D.V. Schroeder, Introducción a la QFT; Sección 3.5.

2. H. Arodz & L. Hadasz, Conferencias sobre teoría clásica y cuántica de campos, Sección 6.2.

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$^1$ En esta respuesta, para simplificar, sólo consideramos la descuantización, es decir, pasar de un sistema cuántico a un sistema clásico. Normalmente, en física nos enfrentamos al problema opuesto: la cuantización. Dada la densidad lagrangiana (5), se podría (como primer paso en la cuantización) hallar la formulación hamiltoniana mediante la receta de Dirac-Bergmann o la fórmula Método Faddeev-Jackiw . El procedimiento de Dirac-Bergmann conduce a restricciones de segunda clase . El resultado Soporte de Dirac se convierte en la ec. (4). El método de Faddeev-Jackiw conduce al mismo resultado (4). Para más detalles, véase también este Post de Phys.SE y enlaces al mismo.

$^2$ Las variables $\psi^{\ast}_{\alpha}$ y $\bar{\psi}_{\alpha}$ no son independientes de $\psi_{\alpha}$ , cf. este Phys.SE y los enlaces que contiene. No estamos de acuerdo con la frase "Subrayemos que $\psi_{\alpha}$ , $\bar{\psi}_{\alpha}$ son elementos generadores independientes de un álgebra compleja de Grassmann" en Ref. 2, p. 130.

$^3$ Convenios. En esta respuesta, utilizaremos $(+,-,-,-)$ convención de signos de Minkowski y álgebra de Clifford

$$\{\gamma^{\mu}, \gamma^{\nu}\}_{+}~=~2\eta^{\mu\nu}{\bf 1}_{4\times 4}.\tag{7}$$ Además, $$\bar{\psi}~=~\psi^{\dagger}\gamma^0, \qquad (\gamma^{\mu})^{\dagger}~=~ \gamma^0\gamma^{\mu}\gamma^0,\qquad (\gamma^0)^2~=~{\bf 1}.\tag{8} $$ El adjunto hermitiano de un producto $\hat{A}\hat{B}$ de dos operadores $\hat{A}$ y $\hat{B}$ invierte el orden, es decir $$(\hat{A}\hat{B})^{\dagger}~=~\hat{B}^{\dagger}\hat{A}^{\dagger}.\tag{9} $$ La conjugación compleja de un producto $zw$ de dos supernúmeros $z$ y $w$ invierte el orden, es decir $$(zw)^{\ast}~=~w^{\ast}z^{\ast}.\tag{10} $$