¿Por qué $\ln (\ln (n) - \ln (\ln (n)))$ asintóticamente $\ln( \ln (n))$ ?

Question

Así que de alguna manera entiendo heurísticamente que $$\ln (\ln (n) - \ln (\ln (n))) = \ln(\ln(n)(1 - o(1))).$$ Puedo utilizar las leyes de los troncos para obtener $$\ln(\ln(n)) + \ln(1 - o(1)).$$ Esto me da lo que quiero: $$\ln(\ln(n)) - o(1).$$ Lo que creo que demuestra que $\ln (\ln (n) - \ln (\ln (n)))$ es de hecho asintóticamente $\ln( \ln (n))$ (suponiendo que estoy entendiendo poco $o$ correctamente).

Lo que pregunto es si existe una justificación más rigurosa para la primera igualdad enunciada. ¿Basta con demostrar simplemente que $$\lim_{n\to \infty} \dfrac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)} = 0,$$ ¿o hay algo más que hacer?

También, mientras pregunto, tengo una pregunta bastante tonta, puedo simplemente escribir $x - o(1)$ como $x + o(1)$ ya que sigue teniendo la misma idea de la asintótica, ¿correcto?

Answer 1

\begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{\ln\big(\ln(n)-\ln(\ln(n)\big)}{\ln(\ln(n))} &= \lim_{n\to\infty}\frac{ \ln(\ln(n)) + \ln\left(1-\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}\right)}{\ln(\ln(n))} = 1 + \lim_{n\to\infty}\frac{\ln\left(1-\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}\right)}{\ln(\ln(n))}\\ &\overset{(*)}{=} 1 + \ln\left(\lim_{n\to\infty} 1-\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}\right)\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln(\ln(n))}\\ &= 1+\ln(1)\cdot 0 = 1 \end{align} (*) se deduce por continuidad. Por lo tanto $\ln\big(\ln(n)-\ln(\ln(n))\big)\in \Theta\big(\ln(\ln(n))\big)$ .

Answer 2

Porque $$\frac{\ln(\ln{n}-\ln\ln{n})}{\ln\ln{n}}=\frac{\ln\ln{n}+\ln\left(1-\frac{\ln\ln{n}}{\ln{n}}\right)}{\ln\ln{n}}=$$ $$=1+\frac{\ln\left(1-\frac{\ln\ln{n}}{\ln{n}}\right)}{\ln\ln{n}}\rightarrow1$$ porque $$\frac{\ln\ln{n}}{\ln{n}}=\ln\left(\ln{n}\right)^{\frac{1}{\ln{n}}}\rightarrow\ln1=0.$$