Medición simultánea de diferentes componentes del espín

Question

Estoy leyendo la Introducción a la QM de Griffiths y me cuesta entender por qué no se pueden medir simultáneamente las componentes x,y y z del espín. Sé que el principio de incertidumbre lo impide pero sigo sin ver por qué.

El ejemplo de Griffiths es que si tenemos una partícula en su estado arriba, $\chi_+$ entonces sabemos que el componente z de su espín es $\frac{\hbar}{2}$ . Si a continuación medimos el componente x, de repente nos encontramos con una probabilidad del 50-50 de que el componente x sea $\frac{\hbar}{2}$ o $-\frac{\hbar}{2}$ . En primer lugar, ¿por qué es una probabilidad del 50-50? Si el estado del componente z es $\chi^z$ entonces $$ \chi^z=a\chi_+ ^z + b\chi_- ^z$$ y el componente x es $$ \chi^x =\dfrac{a+b}{\sqrt{2}}\chi_+ ^x +\dfrac{a-b}{\sqrt{2}}\chi_- ^x$$

Si el componente z se encuentra en su estado ascendente, ¿acaso $\chi^z$ colapsar a $$\chi^z = \chi_+ ^z$$

y así $a=1$ y luego $b=1$ . Por lo tanto, hay una probabilidad del 50-50 de que el componente x esté en su estado ascendente o descendente. ¿Es por esto que es 50-50 o lo estoy entendiendo mal?

A continuación, si la partícula está en su estado ascendente, ¿no debería estar también el componente x en el estado ascendente del componente x, es decir $\frac{\hbar}{2}$ ¿o su estado de subida y bajada se "reinicia" cada vez que medimos? Si se reinicia, ¿significa que una vez que mido el componente x pierdo el conocimiento sobre el componente z? Entonces, ¿tengo un componente x definido, pero sólo una probabilidad del 50-50 de saber si el componente z gira hacia arriba o hacia abajo? Si se reajusta, ¿cuál es la causa? ¿Es sólo por el principio de incertidumbre?

Answer 1

Los operadores mutuamente no conmutativos no pueden tener estados propios simultáneos, es decir, los estados propios de los primeros deben expresarse como combinaciones lineales de (todos) los estados propios de los segundos. En el caso que nos ocupa, dado ${|+\rangle}_z$ como estado propio del operador $S_z$ debe cumplirse lo siguiente: $$ {|+\rangle}_z = c_1 {|+\rangle}_x + c_2 {|-\rangle}_x $$ y lo mismo para el otro componente ${|-\rangle}_z$ sólo que con coeficientes diferentes. Aprovechando las relaciones de conmutación y la $\mathfrak{su}(2)$ Lie-álgebra se encuentra que $c_1 = \pm c_2 = 1/\sqrt{2}$ (aunque los signos pueden estar invertidos).

Answer 2

En general estás acertando: Los operadores no conmutativos no comparten eigenestados, por lo que la medida $S_x$ en un estado propio de $S_z$ dará lugar a un estado que no es un estado propio de $S_z$ más. Los operadores de espín no se conmutan porque se definen mediante la relación Lie-álgebra $[S_i, S_j] = i \hbar \varepsilon_{ijk} S_k$ .

A continuación, si la partícula está en su estado ascendente, ¿no debería estar también el componente x en el estado ascendente del componente x, es decir $\hbar/2$ ¿o su estado de subida y bajada se "reinicia" cada vez que medimos?

El estado "arriba" se define con respecto a una dirección, es decir, el $z$ no es equivalente al estado $x$ estado 'up'. Piense en el espín como un vector en un espacio cartesiano tridimensional. Claramente, un vector que apunta a lo largo del eje positivo $z$ no es el mismo que el vector que apunta a lo largo del eje positivo $x$ eje.

Answer 3

Esto podría ser más fácil de entender en términos de las matrices de Pauli:

$\sigma_z=\pmatrix{0 &1\\1 &0}$ , $\sigma_y=\pmatrix{0 &-i\\i &0}$ , $\sigma_x=\pmatrix{1 &0\\0 &-1}$ ,

donde los operadores para $z, y$ y $x$ vienen dadas por $\hat{S_z}=\tfrac{\hbar}{2}\sigma_z$ , $\hat{S_y}=\tfrac{\hbar}{2}\sigma_y$ y $\hat{S_x}=\tfrac{\hbar}{2}\sigma_x$ respectivamente.

Los valores propios de las matrices de Pauli son $\pm 1$ Los vectores propios de estas matrices son

$\chi_z^+= \pmatrix{1\\0}\qquad \chi_z^-=\pmatrix{0\\1}$

$\chi_y^+=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\pmatrix{1\\i} \quad \chi_y^-=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\pmatrix{1\\-i}$

$\chi_x^+=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\pmatrix{1\\1} \quad \chi_x^-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\pmatrix{1\\-1}$ ,

donde los superíndices "+" y "-" distinguen entre los dos vectores propios diferentes.

Así que tomando el ejemplo de Griffith de sistema preparado en un estado de spin-up, es decir, $\pmatrix{1 \\0}$ . Podemos expresar este estado en términos de $x$ vectores propios:

$\pmatrix{1\\0}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left [\chi_x^+ +\chi_x^- \right ]=\frac{1}{2}\pmatrix{1\\1}+\frac{1}{2}\pmatrix{1\\-1}$

Si ahora mide el $x$ existe un componente $(1/\sqrt{2})^2$ posibilidad de encontrar el $+\hbar/2$ o $-\hbar/2$ valor propio.

Una vez que has medido un determinado valor, la función de onda se colapsa y permanecerá en el estado que has medido. Así que si usted midió $-\hbar/2$ después de medir $\hat{S}_x$ volverá a medir este valor una vez que aplique $\hat{S}_x$ de nuevo. Sin embargo, el estado se acopla al entorno, lo que provoca una decoherencia de la función de onda. Si se espera demasiado, la medición volverá a ser estocástica.

Para ver por qué el principio de incertidumbre impide medir todas las proyecciones al mismo tiempo, se puede utilizar el modelo vectorial del espín. Como el momento angular total es $\hbar\sqrt{j(j+1)}$ y el valor máximo de la proyección es $\hbar m_{j,\text{max}}=\hbar j$ y porque $j<\sqrt{j(j+1)}$ El momento angular nunca apunta directamente a lo largo de un eje, sino que se desplaza alrededor de él. Por lo tanto, sólo se define una proyección.