Cómo integrar $\int_0^{\infty} \frac{\sin(x^{-p})}{x^2}dx$ donde $p>1$ ?

Question

Cómo integrar la siguiente integral:

$$\int_0^{\infty} \dfrac{\sin(x^{-p})}{x^2} dx, p>1 ?$$

Gracias por cualquier ayuda.

Intento: He probado sub simple: $x^{-p} =u \implies du=dx (-p)x^{-p-1}.$

$$\int_0^{\infty} \dfrac{\sin(x^{-p})}{x^2} dx = \dfrac{-1}{p}\int_{\infty}^{0} \sin(u)x^{p-1}du .$$

Sin embargo, no puedo seguir adelante con este submarino.

Answer 1

A partir del cambio de variable $u=x^{-p}$ la integral se convierte en $$-\frac{1}{p}\int_{0}^\infty \sin(u)u^{1/p-1}du=-\frac{1}{p}\mathcal{M}\{\sin(u)\}(1/p),$$ donde $\mathcal{M}$ denota la transformada de Mellin.

Desde $0<1/p<1$ se puede deducir fácilmente de http://mathworld.wolfram.com/MellinTransform.html que $$-\frac{1}{p}\Gamma\left(\frac{1}{p}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2p}\right)=-\Gamma\left(\frac{1}{p}+1\right)\sin\left(\frac{\pi}{2p}\right)$$ es el valor de dicha integral.