Hallar el radio de convergencia de dos series de potencias

Question

Tengo dos series (1) $\sum \frac{x^n}{n^{\log n}}$ y (2) $\sum \frac{x^n}{n (\log n)^2}$ . Necesito encontrar el radio de convergencia para ambos casos.

Intento: (1) Sé que tengo que encontrar este límite es decir $$\lim_{n\to \infty}\left |\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|=\lim_{n\to \infty}\frac{n^{\log n}}{(n+1)^{\log (n+1)}}=\lim_{n\to \infty}e^{\log^2 n-\log^2 (n+1)}\\=\lim_{n\to \infty} \left(1+ \mathcal{O}\left(\frac{1}{n}\right)\right) \to 1$$ Así que $R=1$ para este caso.

(2) $$L=\lim_{n\to \infty}\left |\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n}{n+1}\right) e^{\log \log^2 n-\log \log^2 (n+1)}$$ ¿Cómo puedo simplificar aún más este límite? ¿Es correcto mi intento o he metido la pata? Cualquier sugerencia será bienvenida. Se trata de problemas de ejercicios del libro Undergraduate analysis de Serge Lang, capítulo IX, ejercicio 6.

Answer 1

Desde $$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{(n+1)\log^2(n+1)}}{\frac1{n\log^2n}}=\lim_{n\to\infty}\frac n{n+1}\times\left(\frac{\log n}{\log(n+1)}\right)^2$$ y puesto que $\lim_{n\to\infty}\frac n{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\log n}{\log(n+1)}=1$ el radio de convergencia de su serie es igual a $1$ . Tenga en cuenta que $\log(n+1)=\log(n)+\log\left(\frac{n+1}n\right)$ y que $\lim_{n\to\infty}\log\left(\frac{n+1}n\right)=0$ es fácil deducir de ello que $\lim_{n\to\infty}\frac{\log n}{\log(n+1)}=1$ de hecho.

Answer 2

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1$ y

$$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln n} = 1$$

Así que $$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(n+1)\ln^2(n+1)}{n \ln^2 n} = \left(\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+1}{n}\right) \left(\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)^2 = 1$$

demostrando que el radio de convergencia es igual a $1$ .

Answer 3

Utilizaría el $n$ a prueba de raíz:

Primera serie: $$ \sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{n^{\ln n/n}}=\exp\left(-\frac{(\ln n)^2}{n}\right)\to \exp(0)=1. $$ Por lo tanto, el radio de convergencia es igual a uno.

Segunda serie: $$ \sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{\sqrt[n]{n(\ln n)^2}}=\exp\left(-\frac{\ln n+2\ln(\ln n)}{n}\right)\to \exp(0)=1. $$ De nuevo, el radio de convergencia es igual a uno.