Cómo pensar en el mapa canónico $i^{-1}i_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}$ y mapas similares de láminas definidos por la adjunción

Question

Sea $i \colon Z \to X$ sea la inclusión de un subconjunto cerrado $Z$ en $X.$ Sea $\mathcal{F}$ sea una gavilla en $Z.$ Me gustaría demostrar que el mapa canónico $i^{-1}i_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}$ es un isomorfismo. (Esto es parte de la prueba del Proyecto Pilas, Lema 6.32.1 .) Hay algunas cosas que no me quedan claras, así que quizá las ponga en negrita sobre la marcha.

Entiendo que $$(i^{-1}i_*\mathcal{F})_z = (i_*\mathcal{F})_z = \mathcal{F}_z.$$ Sin embargo, sabemos que el hecho de que dos gavillas tengan tallos isomorfos no significa necesariamente que las dos gavillas sean isomorfas. Tenemos que demostrar que el isomorfismo anterior en los tallos es inducido por un morfismo $i^{-1}i_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}.$ ¿Hay alguna razón por la que el isomorfismo en tallos sea inducido por el mapa canónico $i^{-1}i_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}?$ ¿Qué aspecto tiene el mapa canónico?

Si intento descomprimir las definiciones, obtengo lo siguiente. Supongamos que $U$ es un conjunto abierto de $X,$ y así $U \cap Z$ es un conjunto abierto de $Z.$ Entonces $i^{-1}i_*\mathcal{F}(U \cap Z)$ es la gavilla asociada a \begin{align*} U \cap Z &\mapsto \varinjlim_{V \supseteq U\cap Z}i_*\mathcal{F}(V)\\ &= \varinjlim_{V \supseteq U\cap Z} \mathcal{F}(i^{-1}(V))\\ &= \varinjlim_{V \supseteq U\cap Z} \mathcal{F}(V \cap Z). \end{align*} Pero el último límite sólo se toma sobre todos los conjuntos abiertos de $Z$ que contiene $U \cap Z,$ así que ¿significa eso que esto es exactamente $\mathcal{F}(U \cap Z)?$ Entonces, por la propiedad universal de la sheafificación, ¿demuestra esto directamente que $i^{-1}i_*\mathcal{F} = \mathcal{F}?$

Otra forma de pensar es la siguiente. Sabemos que tenemos una biyección de conjuntos $$\operatorname{Hom}(i^{-1}i_*\mathcal{F},\mathcal{F}) \cong \operatorname{Hom}(i_*\mathcal{F},i_*\mathcal{F}).$$ Me gustaría suponer que nuestro mapa canónico $\colon i^{-1}i_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}$ es inducido por el mapa de identidad $i_*\mathcal{F} \to i_*\mathcal{F}.$ Pero, ¿esta identificación conserva los tallos? En términos más generales, si tenemos una identificación entre $\phi \colon f^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}$ y $\psi \colon \mathcal{G} \to f_*\mathcal{F},$ donde $\mathcal{F}$ es una gavilla en $X$ y $\mathcal{G}$ es una gavilla en $Y.$ Si $f(x) = y,$ ¿existe algún tipo de correspondencia entre $\phi_x$ y $\psi_y?$

Y por último, en caso de que las respuestas a mis preguntas anteriores no respondan a esto, cómo debo pensar sobre los otros mapas canónicos definidos por adjunción (por ejemplo, $i^*i_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}$ y $\mathcal{G} \to i_*i^*\mathcal{G}$ para gavillas de módulos)?

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Edito: No quería extenderme en mi última pregunta porque alargaría demasiado este post, pero quizá sea mejor incluirla en aras de la exhaustividad. En concreto, consideremos el mapa $i_*i^*\mathcal{G} \to \mathcal{G}.$ Sea $\mathcal{H} = i^*\mathcal{G}.$ Entonces $\mathcal{H}$ es la sheafificación de la prehoja $\mathcal{H}^{\text{pre}}$ definido por $$V \mapsto \mathcal{O}_Z(V) \otimes_{i^{-1}\mathcal{O}_X(V)} \varinjlim_{W \supseteq i(V)}\mathcal{G}(W).$$ Supongamos que $U$ es un conjunto abierto de $X.$ Sea $V = i^{-1}(V) = U \cap Z.$ Entonces $i_*i^*\mathcal{G}(U)$ es sólo $\mathcal{H}(V).$ Pero tenga en cuenta que $U \supseteq i(V),$ y así tenemos un morfismo canónico $$\mathcal{G}(U) \to \varinjlim_{W \supset i(V)}\mathcal{G}(W).$$ Pero entonces también tenemos morfismos canónicos $$\varinjlim_{W \supset i(V)}\mathcal{G}(W) \to \mathcal{O}_Z(V) \otimes_{i^{-1}\mathcal{O}_X(V)} \varinjlim_{W \supseteq i(V)}\mathcal{G}(W) = i_*\mathcal{H}^{\text{pre}}(U) \to i_*\mathcal{H}(U).$$ (¿Está todo correcto hasta aquí?) Así que esto define un mapa $\mathcal{G} \to i_*i^*\mathcal{G}.$ Y si tuviéramos que comprobar los tallos, ¿podemos seguir simplemente la composición de mapas anterior (a nivel de tallos) porque los tallos se comportan bien con los límites directos y los productos tensoriales?

Answer 1

Dato general: Si $F$ es adjunto a la izquierda de $G$ entonces el país $FG \to \mathrm{id}$ es un isomorfismo si $G$ es plenamente fiel.

Así que sólo tienes que demostrar que $i_*$ es totalmente fiel, lo cual es fácil (basta con utilizar que los subconjuntos abiertos de $Z$ son exactamente los $U \cap Z$ para subconjuntos abiertos $U$ de $ X$ ). Observe que no tiene que pensar en $i^{-1}$ en absoluto.

Answer 2

Pregunta: "¿Hay alguna razón por la que el isomorfismo en tallos sea inducido por el mapa canónico $i^{1}i_FF$ ? ¿Qué aspecto tiene el mapa canónico?".

Contesta: Si $V \subseteq Z$ es un subesquema abierto existe un mapa canónico

$$i^{-1}i_*E(V):=lim_{i(V) \subseteq U}E(i^{-1}(U)) \rightarrow E(V)$$

desde $V \subseteq i^{-1}(U)$ . Por lo tanto, existe un mapa canónico de láminas

$$\phi: i^{-1}i_*E \rightarrow E.$$

En general, si $f: X \rightarrow Y$ es un mapa de espacios topológicos y $x \in X$ se deduce que para cualquier $E \in sh(Y)$ existe un isomorfismo $f^{-1}(E)_x \cong E_{f(x)}$ . Por lo tanto

$$ i^{-1}(i_*E)z=(i_*E)_{i(z)} \cong E_z,$$

para cualquier $z\in Z$ .

Al pasar a la fibra del mapa $\phi$ en $z\in Z$ se obtiene un isomorfismo

$$\phi_z: (i^{-1}i_*E)_z \cong E_z \rightarrow^{\phi_z} E_z.$$

Dado un elemento $\{e_U\}\in i^{-1}i_*E(V)$ con $i(V) \subseteq U$ lo siguiente

$$\phi_V(e_U):=(e_U)_V \in E(V),$$

por lo tanto, para un elemento del tallo $(e,W)\in i^{-1}i_*E_z$ puede elegir un elemento $\{e_U\}\in i^{-1}i_*E(V)$ representando a $(e,W)$ y obtienes

$$\phi_z(e,W):=((e_U)_V,V)\in E_z.$$

El debe comprobar que este mapa es un isomorfismo.

Por lo tanto, el mapa canónico $\phi$ es un isomorfismo en los tallos en $z$ para cualquier $z\in Z$ y es, por tanto, un isomorfismo.