Supongamos que $π ∈ S_n$ y para ello $π$ defina $C_π : S_n → S_n$ se define por $C_π(σ) = πσ$ . ¿Por qué $C_π$ ¿una biyección?

Question

$S_n$ es el conjunto de todas las permutaciones.

Estoy empezando en este material, así que estoy confundido sobre cómo leer este problema. ¿La función consiste en múltiples permutaciones (es decir, la permutación de una permutación)?

Una propiedad de una permutación de $\{1, ..., n\}$ es que es una biyección a sí misma. Entonces, ¿esta propiedad hace automáticamente $C_$ ¿una biyección?

Answer 1

La forma más sencilla de demostrar que $C_{\pi}$ es una biyección es exhibir una inversa. Y si $\pi^{-1}$ es la inversa de $\pi$ entonces $$ C_{\pi^{-1}}(C_{\pi}(\sigma))=\pi^{-1}\pi\sigma=\sigma $$ y de forma similar $C_{\pi}(C_{\pi^{-1}}(\sigma))=\sigma$ .

Por lo tanto $C_{\pi}$ tiene inversa $C_{\pi^{-1}}$ .

Se trata de un caso especial de una propiedad general: cuando un grupo $G$ actúa sobre un conjunto $X$ la función $f_g:X\to X$ inducida por la acción de $g\in G$ es siempre una biyección.

Answer 2

Si puede asumir que

• $\forall g \in S_n, g$ tiene una inversa,

• $S_n$ es cerrado bajo composición, y

• La composición de permutaciones es asociativa,

Supongamos que $C_\pi(a) = C_\pi(b)$ entonces

$\pi a = \pi b \implies a = b \quad$ (ya que $\pi^{-1}$ existe y la operación es asociativa)

Así que $C_\pi$ es inyectiva.

Tomemos ahora un $c \in S_n$ ¿existe un $x \in S_n$ tal que $C_\pi(x) = c$ ?

Sí, ese elemento es $\pi^{-1}c,$ (por suposición $\pi^{-1}c \in S_n$ por cierre) ya que

$C_\pi(\pi^{-1}c) = \pi\pi^{-1}c = c \quad$ (ya que $\pi^{-1}$ existe y la composición es asociativa)

Así que $C_\pi$ es suryectiva.

$\therefore C_\pi$ es biyectiva