Leía en mi libro de texto que la multiplicación de elementos de $\mathcal D'(R)$ no es una función continua aunque está definida y puede verse por la convergencia de $\sin(nx)$ a $0$ como $n$ llega hasta el infinito en $\mathcal D'(R)$ . Y no en el caso de $\sin^2(nx)$ como $n$ llega hasta el infinito. Por favor, explíqueme qué quiere decir. Gracias de antemano.
Respuesta
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En el sentido de las distribuciones, $\sin nx \to 0$ como $n\to\infty$ ya que
$$ \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\,\sin nx\,dx = 0$$
para cada función de prueba $\phi$ . (Esto se deduce, por ejemplo, del lema de Riemann-Lebesgue).
Por otra parte $\sin^2 nx = \frac12 - \frac12\cos 2nx$ así que $$ \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\,\sin^2 nx\,dx = \frac12 \int_{-\infty}^\infty \phi(x)\,dx,$$ lo que significa que $\sin^2 nx$ tiende a $1/2$ en el sentido de distribuciones como $n \to \infty$ .
Por lo tanto, la operación $f \mapsto f^2$ no puede ser continua en $\mathcal{D}'$ . Si lo fuera, trazaría una secuencia de distribuciones tendentes a $0$ a otra secuencia de distribuciones tendentes a $0$ .
(La multiplicación de dos distribuciones arbitrarias ni siquiera puede definirse en general: ¿qué sería $\delta^2$ ser?)
