Normalización de la función de Bessel

Question

Le agradecería mucho que me ayudara con el siguiente problema. mostrar:

$$\int _0 ^\infty J_n(x)dx = 1; \forall n \in \mathbb{N}^+$$

para $J_o,$ utilice $$\mathscr{L}{J_o(at)} = \int _0 ^\infty e^{-pt}J_o(at)dt = (p^2 + a^2)^{- \frac{1}{2}}$$

Fijando a = 1; p = 0; obtengo lo que intentaba demostrar. ¿Cómo podría generalizar esto a otros órdenes de la función de Bessel? Intenté escribir una función de Bessel generalizada en forma cerrada, pero resultó infructuoso.

Si tomo la transformada de Laplace de una función de Bessel, ¿la única forma de hacerlo sería término a término?

EDIT : Sigo sin estar seguro de cómo se puede obtener la transformada de Laplace de una función de este tipo.

Answer 1

Sugerencia : Utilización del representación integral de la función de Bessel $$J_n(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi dt\, e^{-i(n t - x \sin t)}$$ encontramos \begin{eqnarray*} \int_0^\infty dx\, e^{-p x} J_n(x) &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi dt\, \frac{e^{-i n t}}{p-i\sin t}. \end{eqnarray*} Esta integral puede gestionarse mediante la función métodos de cálculo de residuos . Sea $z=e^{-i t}$ por lo que el contorno es el círculo unitario. Sólo uno de los polos se encuentra dentro del contorno.

Anexo : La integral en términos de $z$ es $$\frac{1}{\pi i} \int_\Gamma dz\, \frac{z^n}{z^2+2p z-1},$$ donde $\Gamma$ es el círculo unitario recorrido en el sentido contrario a las agujas del reloj. Los polos son $$z_\pm = -p \pm \sqrt{1+p^2}.$$ Sólo $z_+$ se encuentra dentro del círculo unitario, por lo que recogemos el residuo en $z=z_+$ .