Si $n \in \mathbb{N} - \{1\}$ , $ a \in \mathbb{Z}$ y $gcd(a,n)=1$ , muestran que hay $1 \leq i<n$ con $n|(a^i -1)$ .

Question

Si $n \in \mathbb{N} - \{1\}$ , $ a \in \mathbb{Z}$ y $gcd(a,n)=1$ , muestran que hay $1 \leq i<n$ con $n|(a^i -1)$ .

Hasta ahora he demostrado que, si $gcd(a,n)=1$ entonces $gcd(a^j,n)=1$ . También tengo un teorema que afirma que, dadas las condiciones del problema, existe $r \in \mathbb{N}$ con $1 \leq r < n$ y $(r,n)=1$ para que $n|(ar-1)$ . Estoy pensando que puedo mostrar $r=a^{i-1}$ para que $n|(a^i-1)$ .

Answer 1

En $(a,n)=1, a^i\pmod n$ yacerá en $[1,n-1]$

Ahora bien, si todos los restos son distintos, utilizando Principio de encasillamiento exactamente uno $a^i\equiv1\pmod n$

Si no $a^r\equiv a^s\pmod n, n-1\ge r>s\ge1\iff n|a^{r-s}(a^s-1)\implies n|(a^s-1)$ como $(a,n)=1$