Interpretación geométrica del producto euclidiano.

Question

Siempre me han enseñado el producto euclidiano en $\mathbb{R}^n$ de forma algebraica, es decir $$xy=\sum_1^n x_iy_i$$

Ahora me encuentro con que tengo que enfrentarme a la definición geométrica como $xy=\|x\|\|y\|\cos \theta.$

Estoy tratando de entender cómo pasar de uno a otro.

Ahora bien, si fijo la base ortonormal estándar de $\mathbb{R}^n,$ Tengo que $x_i=xe_i$ para cada $i.$ Entonces, si supongo que se cumple la definición geométrica, tengo $x_i=xe_i=\|x\|\|e_i\|\cos \theta_i=\|x\|\cos\theta_i, $ y análogamente para $y_i,$ de ahí $$xy=\sum_i\|x\|\|y\|\cos^2 \theta_i=\|x\|\|y\|\sum_i \cos^2 \theta_i$$ ¿Cómo procedo a partir de aquí para concluir la geometría de la implicación? $\implies$ ¿Algebraico?

Y entonces necesito también demostrar que la definición algebraica implica la geométrica.

Answer 1

Piensa en el triángulo que une los vectores $x$ , $y$ y el origen juntos. La ley de los cosenos de la geometría establece que

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)$$

donde $\alpha$ es el ángulo opuesto a $a$ . Asignaremos $a$ el lado del triángulo que une $x$ y $y$ Así que $\alpha$ es el ángulo entre $x$ y $y$ . La ecuación es la siguiente

$$\|x-y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2-2\|x\|\|y\|\cos\alpha$$

El lado izquierdo se puede ampliar, ya que

$$\|x-y\|^2=\|x\|^2-2(x\cdot y)+\|y\|^2$$

y cancelando los términos semejantes se obtiene

$$\cos\alpha=x\cdot y$$

Espero que le sirva de ayuda.

Answer 2

Haré explícito el producto punto como $\cdot$ .

En primer lugar, vamos a corregir un error suyo. Mientras que $x_i=x\cdot e_i=|x|\cos\theta_i$ con $\theta_i$ el ángulo entre $x$ y $e_i$ el ángulo entre $y$ y $e_i$ será en general diferente, digamos $\phi_i$ por lo que el ángulo $\alpha$ entre $x$ y $y$ satisface $$|x||y|\cos\alpha=x\cdot y=\sum_ix_iy_i=|x||y|\sum_i\cos\theta_i\cos\phi_i,$$ es decir $\cos\alpha=\sum_i\cos\theta_i\cos\phi_i$ .

Ahora pasaremos a por qué $\sum_ix_iy_i=|x||y|\cos\alpha$ . Ambos lados son invariantes bajo rotaciones alrededor del origen; para el lado izquierdo, observe una matriz rotacional $R$ satisface $$R^TR=I\implies x^Ty=x^TR^TRy=(Rx)^TRy\implies x\cdot y=Rx\cdot Ry,$$ y para el lado derecho observe que las longitudes son invariantes bajo rotaciones, al igual que los ángulos. Así que sólo tenemos que comprobar el caso especial en el que $x$ corre a lo largo del positivo $x$ -eje. Entonces $x$ tiene un único componente distinto de cero, digamos $x_1=|x|$ mientras que $y_1=|y|\cos\alpha$ . (Puede comprobarlo con un diagrama; tenga en cuenta que $x,\,y$ son coplanarios, independientemente de $n$ .) Así que $$\sum_ix_iy_i=x_1y_1=|x||y|\cos\alpha.$$