Densidad de Lebesgue de una suma de VR con densidad de Lebesgue

Question

Sea $(X_i)_{i\in\mathbb{N}}$ sea una secuencia estacionaria de valor real en la que cada $X_i$ tiene la misma densidad de Lebesgue. ¿Tiene \begin{align*} \sum_{i=1}^n X_i\end{align*} también tienen una densidad de Lebesgue? Intenté demostrarlo con Radon-Nikodym, pero me llevó a la siguiente pregunta: Sea $E\subset \mathbb{R}^n$ sea un conjunto de medidas de Lebesgue $0$ . ¿Por qué \begin{align*} \cup_{e\in E}H_e \end{align*} con $H_e:=\{\omega\in\Omega:\sum_{i=1}^n X_i(\omega) = e\}$ Medida de Lebesgue $0$ ? A lo que no pude responder rápidamente. ¿Alguna idea?

Gracias.

Answer 1

Por supuesto que no. Prueba $X_n=(-1)^nX_0$ para algunos $X_0$ "con densidad de Lebesgue" (signifique eso lo que signifique), entonces la distribución de cada $\sum\limits_{k=1}^{2n}X_k=0$ no tiene densidad.