¿Un buen ejemplo de que una serie sin raíz unitaria no es estacionaria?

Question

He visto varias veces que la gente rechaza el nulo en un prueba Dickey-Fuller aumentada y luego afirman que eso demuestra que su serie es estacionaria (por desgracia, no puedo mostrar las fuentes de estas afirmaciones, pero imagino que existen afirmaciones similares aquí y allá en alguna que otra revista).

Yo sostengo que es un malentendido (que el rechazo del nulo de una raíz unitaria no es necesariamente lo mismo que tener una serie estacionaria, sobre todo porque las formas alternativas de no estacionariedad rara vez se investigan o incluso se tienen en cuenta cuando se hacen esas pruebas).

Lo que busco es

a) un buen contraejemplo claro a la afirmación (puedo imaginar un par ahora mismo, pero apuesto a que alguien más tendrá algo mejor que lo que tengo en mente). Podría ser una descripción de una situación concreta, quizá con datos (simulados o reales; ambos tienen sus ventajas); o bien

b) un argumento convincente de por qué el rechazo en un Dickey-Fuller aumentado debe se considera que establece la estacionariedad

(o incluso ambas (a) y (b) si te sientes listo)

Answer 1

He aquí un ejemplo de serie no estacionaria que ni siquiera una prueba de ruido blanco puede detectar (y mucho menos una prueba del tipo Dickey-Fuller):

Sí, puede resultar sorprendente, pero Esto no es ruido blanco .

La mayoría de los contraejemplos no estacionarios se basan en una violación de las dos primeras condiciones de estacionariedad: tendencias deterministas (media no constante) o raíz unitaria / series temporales heteroscedásticas (varianza no constante). Sin embargo, también puede haber procesos no estacionarios que tengan media y varianza constantes, pero que infrinjan la tercera condición: la función de autocovarianza (FCAV) $cov(x_s, x_t)$ debe ser constante en el tiempo y función de $|s-t|$ sólo.

La serie temporal anterior es un ejemplo de este tipo de serie, que tiene media cero, varianza unitaria, pero el ACVF depende del tiempo. Más concretamente, el proceso anterior es un proceso MA(1) localmente estacionario con parámetros tales que se convierte en ruido blanco espurio (véanse las referencias a continuación): el parámetro del proceso MA $x_t = \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1}$ cambios a lo largo del tiempo

$$\theta_1(u) = 0.5 - 1 \cdot u,$$

donde $u = t/ T$ es el tiempo normalizado. La razón por la que esto parece ruido blanco (aunque por definición matemática claramente no lo es), es que el ACVF variable en el tiempo se integra en cero con el tiempo. Dado que el ACVF de la muestra converge al ACVF medio, esto significa que la autocovarianza de la muestra (y la autocorrelación (ACF)) convergerán a una función parecida al ruido blanco. Por tanto, ni siquiera una prueba de Ljung-Box podrá detectar esta no estacionariedad. El artículo (descargo de responsabilidad: yo soy el autor) sobre Pruebas de ruido blanco frente a alternativas localmente estacionarias propone una extensión de las pruebas de Box para tratar tales procesos localmente estacionarios.

Para más código R y más detalles, véase también esta entrada del blog .

Actualización tras el comentario de mpiktas :

Es cierto que esto puede parecer un caso teóricamente interesante que no se ve en la práctica. Estoy de acuerdo en que es poco probable ver ese ruido blanco espurio en un conjunto de datos del mundo real directamente, pero se en casi todos los residuos de un ajuste de modelo estacionario. Sin entrar en detalles teóricos, imaginemos un modelo general variable en el tiempo. $\theta(u)$ con una función de covarianza variable en el tiempo $\gamma_{\theta}(k, u)$ . Si se ajusta un modelo constante $\widehat{\theta}$ entonces esta estimación se acercará a la media temporal del modelo verdadero $\theta(u)$ y, naturalmente, los residuos se aproximarán a $\theta(u) - \widehat{\theta}$ que por construcción de $\widehat{\theta}$ se integrará en cero (aproximadamente). Para más detalles, véase Goerg (2012).

Veamos un ejemplo

library(fracdiff)
library(data.table)

tree.ring <- ts(fread(file.path(data.path, "tree-rings.txt"))[, V1])
layout(matrix(1:4, ncol = 2))
plot(tree.ring)
acf(tree.ring)
mod.arfima <- fracdiff(tree.ring)
mod.arfima$d

## [1] 0.236507

Así que ajustamos el ruido fraccionario con el parámetro $\widehat{d} = 0.23$ (ya que $\widehat{d} < 0.5$ nosotros piense en todo va bien y tenemos un modelo estacionario). Comprobemos los residuos:

arfima.res <- diffseries(tree.ring, mod.arfima$d)
plot(arfima.res)
acf(arfima.res)

Tiene buena pinta, ¿verdad? Bueno, el problema es que los residuos son ruido blanco espurio . ¿Cómo puedo saberlo? Primero, puedo probarlo

Box.test(arfima.res, type = "Ljung-Box")
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  arfima.res
## X-squared = 1.8757, df = 1, p-value = 0.1708

Box.test.ls(arfima.res, K = 4, type = "Ljung-Box")
## 
##  LS Ljung-Box test; Number of windows = 4; non-overlapping window
##  size = 497
## 
## data:  arfima.res
## X-squared = 39.361, df = 4, p-value = 5.867e-08

y en segundo lugar, sabemos por la literatura que los datos de los anillos de los árboles son de hecho ruido fraccionario localmente estacionario: véase Goerg (2012) y Ferreira, Olea y Palma (2013) .

Esto demuestra que mi ejemplo, de aspecto teórico, se da en la mayoría de los ejemplos del mundo real.

Answer 2

Las pruebas de raíz unitaria son notoriamente difíciles. No suele bastar con utilizar una prueba y hay que tener mucho cuidado con los supuestos exactos que utiliza la prueba.

La forma en que está construido el ADF lo hace vulnerable a series que son simples tendencias no lineales con ruido blanco añadido. He aquí un ejemplo:

library(dplyr)
library(tseries)
set.seed(1000)
oo <- 1:1000  %>% lapply(function(n)adf.test(exp(seq(0, 2, by = 0.01)) + rnorm(201)))
pp <- oo %>% sapply("[[","p.value")

> sum(pp < 0.05)
[1] 680

Aquí tenemos la tendencia exponencial y vemos que ADF funciona bastante mal. Acepta la nulidad de raíz unitaria el 30% de las veces y la rechaza el 70%.

Normalmente, el resultado de cualquier análisis no es afirmar que la serie es estacionaria o no. Si los métodos utilizados en el análisis requieren estacionariedad, la suposición errónea de que la serie es estacionaria cuando en realidad no lo es, suele manifestarse de un modo u otro. Por lo tanto, yo personalmente me fijo en todo el análisis, no sólo en la parte de la prueba de la raíz unitaria. Por ejemplo, los métodos MCO y NLS funcionan bien para datos no estacionarios, en los que la no estacionariedad está en la media, es decir, en la tendencia. Por lo tanto, si alguien afirma erróneamente que la serie es estacionaria y aplica OLS/NLS, esta afirmación podría no ser relevante.

Answer 3

Ejemplo 1

Se sabe que los procesos de raíz unitaria con un fuerte componente MA negativo dan lugar a pruebas ADF con un tamaño empírico muy superior al nominal (por ejemplo, Schwert, JBES 1989 ).

Es decir, si $$ Y_t=Y_{t-1}+\epsilon_t+\theta\epsilon_{t-1}, $$ con $\theta\approx-1$ las raíces de las partes AR y MA casi se cancelarán, de modo que el proceso se parecerá al ruido blanco en muestras finitas, lo que dará lugar a muchos falsos rechazos de la nulidad, ya que el proceso sigue teniendo una raíz unitaria (no es estacionario).

A continuación se muestra un ejemplo para la prueba ADF que ha mencionado. [Schwert simula que se podrían generar tamaños empíricos mucho más extremos con estructuras MA menos extremas si se observara el estadístico del coeficiente $T(\hat\rho-1)$ o la prueba de Phillips-Perron en su lugar, véanse sus tablas 5-10].

library(urca)
reps <- 1000
n <- 100
rejections <- matrix(NA,nrow=reps)

for (i in 1:reps){
  y <- cumsum(arima.sim(n = n, list(ma = -0.98)))
  rejections[i] <- (summary(ur.df(y, type = "drift", selectlags="Fixed",lags=12*(n/100)^.25))@teststat[1] < -2.89)
}
mean(rejections)

Ejemplo 2

Procesos con reversión de la media pero no estacionarios. Por ejemplo, $Y_t$ podría ser un proceso AR(1) con coeficiente AR inferior a uno en valor absoluto, pero con un proceso de innovación cuya varianza cambia permanentemente en algún momento ("heteroscedasticidad incondicional"). En ese caso, el proceso no tiene raíz unitaria, pero tampoco es estacionario, ya que su distribución incondicional cambia con el tiempo.

Dependiendo del tipo de cambio de varianza, la prueba ADF seguirá rechazando con frecuencia. En mi ejemplo a continuación, tenemos una ruptura de varianza hacia abajo, lo que hace que la prueba "crea" que la serie converge, lo que lleva a un rechazo de la nulidad de una raíz unitaria.

library(urca)
reps <- 1000
n <- 100
rejections <- matrix(NA,nrow=reps)

for (i in 1:reps){
  u_1 <- rnorm(n/2,sd=5)
  u_2 <- rnorm(n/2,sd=1)
  u <- c(u_1,u_2)
  y <- arima.sim(n=n,list(ar = 0.8),innov=u)
  rejections[i] <- (summary(ur.df(y, type = "drift"))@teststat[1] < -2.89)      
}
mean(rejections)

(Como apunte, la prueba ADF "pierde" su distribución nula asintótica fundamental en presencia de heteroscedasticidad incondicional).