¿Cómo calcular la segunda derivada funcional de la acción de un sistema de una partícula?

Question

Dado el Lagrangiano $$L(q,\dot{q})=m\dot{q}^2/2-V(q)$$ y la acción correspondiente $$S[q]\equiv\int_0^t dt' (m\dot{q}^2/2-V(q)),$$ Necesito poder evaluar la segunda derivada funcional $\frac{\delta^2S[q]}{\delta q(t) \delta q(t')}|_{q=q_{cl}}$ . Según el CMFT de Altland/Simon, \begin{equation*} \int_0^t dt \int dt' r(t) \frac{\delta^2 S[q]}{\delta q(t) \delta q(t')}|_{q=q_{cl}} r(t') = -\frac{1}{2} \int dt r(t) [m\partial_t^2 + V''(q_{cl}(t))]r(t). \end{equation*} Mi problema es que no puedo averiguar cómo obtener el $\partial_t^2$ parte al evaluar la derivada de la función. Sospecharía que proviene de tomar la derivada funcional de la parte de energía cinética de la acción. Sin embargo, al utilizar la definición $$\frac{\delta F[f]}{\delta f(x)} \equiv \lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{1}{\epsilon}(F[f+\epsilon \delta_x]-F[f]),$$ En su lugar me quedan unas derivadas primera y segunda de la función delta de Dirac realmente Impares.

¿Podría alguien indicarme cómo evaluar estas derivadas funcionales?

Answer 1

Sé cómo hacerlo simplemente expandiendo la acción como una serie de Taylor en la desviación $r(t)$ .

Ampliar la acción \begin{align} \delta S =& S[q_{\mathrm{cl}} + r(t)] - S[q_{\mathrm{cl}}(t)] \\ =& \int_0^t\mathrm{d}t' \cdot\left\{ \frac{m}{2}\left[\partial_{t'}( q_{\mathrm{cl}} + r)\right]^2 - V(q_{\mathrm{cl}} + r) -\frac{m}{2}\left[\partial_{t'} q_{\mathrm{cl}} \right]^2 + V(q_{\mathrm{cl}}) \right\} \\ = & \int_0^t\mathrm{d}t' \cdot\left\{O(r) + \frac{m}{2} (\partial_{t'}r)^2 - \frac{1}{2}V''(q_{\mathrm{cl}})r^2 + O(r^{3}) + \cdots\right\} \end{align} donde $O(r^n)$ significa $n$ término de orden. A continuación, utilice la integración por partes \begin{align} \int_0^t \mathrm{d}t'\cdot \left[\partial_{t'}r(t')\right] \left[\partial_{t'}r(t')\right] =& \left.r(t')\partial_{t'}r(t')\right|_0^t - \int_0^t \mathrm{d}t'\cdot r(t')\partial_{t'}^{2}r(t') \\ = & - \int_0^t \mathrm{d}t'\cdot r(t')\partial_{t'}^{2}r(t') \end{align} donde hemos utilizado el hecho de que $r(0)=r(t)=0$ . Así obtenemos el término de segundo orden de $S$ \begin{align} \int_0^t \mathrm{d}t \int_0^t \mathrm{d}t'\cdot r(t) \frac{\delta^2 S[q]}{\delta q(t) \delta q(t')}|_{q=q_{cl}} r(t') = -\frac{1}{2} \int \mathrm{d}t \cdot r(t) [m\partial_t^2 + V''(q_{cl}(t))]r(t). \end{align}

Referencia:

Apéndice A de Teoría del Funcional de la Densidad Un curso avanzado por Eberhard Engel, Reiner M. Dreizler puede ser útil para comprender la relación entre la expansión de Taylor y la derivada funcional.