Comprensión de la derivada parcial de 3 variables

Question

Soy nuevo en derivadas parciales y necesito ayuda para entender si lo que he hecho hasta ahora es correcto.

Sea $S$ sea la superficie dada por $x^2 + y^2 - 3z^2 = 5$

Quiero calcular la derivada parcial:

$\frac{\partial z}{\partial x}$ en el punto $(2,2,1)$ y $(2,2,-1)$

Esto es lo que he hecho:

$x^2 + y^2 - 3z^2 = 5$

$z^2 = \frac{x^2 + y^2 - 5}{3}$

$z = \pm \sqrt\frac{x^2 + y^2 - 5}{3}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\frac{1}{2}(x^2 + y^2 - 5)^{-\frac12}(2x)}{\sqrt3}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{2\sqrt{3}\sqrt{x^2 + y^2 - 5}}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{3}\sqrt{x^2 + y^2 - 5}}$

Pero no estoy seguro de cómo continuar después de esto, y cómo utilizar los puntos (2,2,1) y (2,2,-1).

Answer 1

Utilizar el cálculo diferencial con la ecuación de la superficie: diferenciando ambos lados se obtiene $$2x\,\mathrm dx+2y\,\mathrm dy-6z\,\mathrm dz=0,$$ de donde $$\mathrm dz=\frac{x\,\mathrm dx+y\,\mathrm dy}{3z}.$$ Ahora $\;\dfrac{\partial z}{\partial x}$ es el coeficiente de $\mathrm dx$ y lo mismo para $\;\dfrac{\partial z}{\partial y}$ .

Answer 2

Tampoco soy experto en derivadas parciales pero he pensado así: tu resultado final es un resultado global. Así que usted puede encontrar derivada parcial deseada sólo hay que poner los valores x e y en las ecuaciones encontradas. Los valores de Z solo afectan el signo del resultado. Para un valor positivo de z, su solución es totalmente correcta, pero para un valor negativo de z, usted debe agregar un signo menos a la ecuación cuando el cuadrado de enraizamiento valor de z en su solución.