Este es el problema
Sea $R_k$ sea el conjunto de secuencias crecientes $\{x_1<x_2<\ldots<x_k\}$ de longitud $k$ tal que hay números enteros $a_3, a_4,\ldots,a_k$ (dependiendo del seque $$x_3=a_3x_2+(1-a_3)x_1, \ x_4=a_4x_3+(1-a_4)x_2,\ldots, \ x_k=a_kx_{k-1}+(1-a_k)x_{k-2}$$ Demostrar que cada $2$ coloración de $[n]$ avec $n \geq 7(k + 1)!/24$ contiene un miembro monocromático de $R_k$ .
Anotaciones
Denotamos $[n]=\{1,2,\ldots,n\}$ .
Para simplificar, para comparar con los números de Van der Wearden $W(2,k)$ Llamaré $P(k)$ el mínimo $n$ de forma que cada $2$ coloración de $[n]$ contiene una secuencia monocromática de $R_k$ .
Comentarios
En primer lugar, podemos observar que el caso $a_i=2$ para todos $i$ induce todas las progresiones aritméticas. Por lo tanto $P(k)<W(2,k)$ .
También podemos reescribir $R_k$ (A mí me resultó más fácil de leer que seguir, puede que no sea el caso de todo el mundo). En esta secuencia $x_i$ la diferencia entre dos términos consecutivos $x_i-x_{i-1}$ es un divisor de la diferencia $x_i-x_{i-2}$ . Cada número de la secuencia puede escribirse de la forma $$x_i=x_1+d\cdot r_i$$ con algunas restricciones en el $r_i$ . Más concretamente, $R_k$ es un conjunto de secuencias de la forma $\{x_1,x_2,\ldots,x_k\}$ con
- $x_1$ es la inicialización,
- $x_2$ define la diferencia $d=x_2-x_1$ ,
- y entonces existe un conjunto de constantes $a_i\geq 2$ de forma que cada $x_i$ puede escribirse como $$x_i = x_{i-2}+d\cdot a_i\cdot\prod_{j=3}^{i-1}(a_j-1)$$ O lo que es lo mismo $$x_i = x_{i-1}+d\cdot\prod_{j=3}^{i}(a_j-1)$$
Visualización : Por lo tanto, la secuencia de $R_k$ son secuencias de números enteros, donde la diferencia de dos números consecutivos es múltiplo de la diferencia entre los dos números anteriores:
$$\ldots x_i \overbrace{\qquad}^{\alpha} x_{i+1} \overbrace{\qquad}^{\alpha\beta}x_{i+2}\ldots$$
Prueba : Ahora trabajando en el problema real, creo que la inducción podría ser una buena manera de empezar. Mirando entonces el caso base , $k=3$ . Necesito demostrar que para $n\geq 7$ para cada color $$\chi:[n]\rightarrow 2$$ existe una secuencia monocromática de $R_3=\{(x,x+d,x+rd)\mid x\in[n],\ d\geq1, \ r\geq2\}$ . Esto es bastante fácil por eliminación (no escribo los detalles aquí, pero observando que tener dos números consecutivos con la misma coloración es "malo", sabemos que 1,2,3,4 tienen colores alternos, luego 5 debe ser coloreado como 2 y 4, 6 debe ser coloreado como 1,3, y cualquier color para 7 llevará a una secuencia monocromática de $R_3$ ) .
Inducción
Aquí es donde fallo. Supongamos que tenemos una coloración de $n'=\frac{7(k+2)!}{24}$ . Creo que una buena manera de empezar es dividir $[n']$ como sigue $$\underbrace{[n], \ [n]+n, \ [n]+2n,\ldots, \ [n]+(k+1)n}_{(k+2)\text{ terms}}$$ Con $n=\frac{7(k+1)!}{24}$ . Por lo tanto, en cada término, sé que existe una secuencia monocromática de $R_k$ . Además, para cada constante $c$ el conjunto $\{c+1,c+2,\ldots,c+n\}$ contiene una secuencia monocromática de $R_k$ .
Debería poder construir la secuencia a partir de $R_{k+1}$ de estas secuencias, pero no estoy seguro de ver cómo.
