Cómo calcular el seno coseno o tangente de un ángulo (simplemente explicado)

Question

Yo quería saber cómo una calculadora encuentra el seno O cualquier otra función trigonométrica con sólo conocer el valor del ángulo. He estado buscando en la internet en busca de respuestas, porque yo estaba muy interesado en cómo Arquímedes descubrió lo que el valor de pi es. Entonces que me llevó a calcular los lados de los triángulos rectángulos, pero yo quería saber desde que Arquímedes no tengo una calculadora, ¿cómo encontrar la longitud del lado opuesto en el triángulo. He buscado en un montón de páginas, pero todos estaban tan complejo(estoy en la escuela media)para mí. Así que, básicamente, cualquier persona puede simplificar la forma en que usted(o Arquímedes) pueden encontrar la longitud del lado opuesto de un triángulo rectángulo?

Lo siento, si se trata de un amplio/pregunta vaga en cualquier forma o si he cometido algún error. Esta es mi primera vez haciendo una pregunta en línea

Doy las gracias de antemano a cualquiera que pueda ayudar!

Answer 1

Creo que realmente hay dos preguntas aquí:

1. ¿Cómo Arquímedes encontrar la longitud del lado de un triángulo rectángulo opuesto a un ángulo especificado?
2. ¿Cómo funciona una calculadora evaluar funciones trigonométricas?

Para #1: Honestamente, creo que se acaba de dibujar y medir. Esto nos lleva a la pregunta, "¿Cómo medir la longitud en general?" y tal vez eso es en realidad lo que estaban pidiendo. Las mediciones de longitud se basan a menudo en las partes del cuerpo en esos días. Consulte aquí para obtener más información, incluyendo otras técnicas/dispositivos.

Para #2: Una respuesta detallada es bastante técnica y avanzada, así que voy a tratar de simplificar lo más que puedo.

Como se dijo en otra respuesta, calculadoras utilizar la serie de Taylor para evaluar funciones trigonométricas. Básicamente, una serie de Taylor es una forma de expresar una función en términos de las cuatro operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división.

Cada equipo y cada (eléctrico) calculadora tiene una unidad central de procesamiento, se denomina CPU para el corto. La CPU se compone de un montón de pequeños cables que llevan la corriente eléctrica. Cuando le damos a la computadora o calculadora de comandos (como abrir o guardar un archivo, o presionar botones en el teclado o con calculadora), la electricidad que se envía a través de los cables de una manera que hace que los comandos de la realidad.

La mayoría de las operaciones básicas que podemos hacer con este eléctrica de enrutamiento son la suma y la resta. La multiplicación y la división se debe hacer con las combinaciones adecuadas de la suma y de la resta. Para decirlo de otra manera, podemos hacer la suma y la resta con básicamente un recorrido eléctrico. Pero algo más complicado va a requerir más que una ruta. Por ejemplo, cuando le dice a la calculadora para hacer $4 + 5$, sólo necesita una ruta para hacerlo. Pero si le dices a tu calculadora para hacer $4 \times 5$, la corriente eléctrica a través de los cables que realmente está haciendo $4 + 4 + 4 + 4 + 4$, que tiene cuatro rutas (uno para cada adición, y tenemos cuatro adiciones).

Lo mismo es cierto de las más complicadas operaciones y funciones. También requieren más de un recorrido eléctrico, donde cada recorrido eléctrico es básicamente una adición o sustracción. Aquí es donde la serie de Taylor nos ayuda. La serie de Taylor nos dice cómo evaluar estas funciones utilizando la suma, la resta, la multiplicación y la división. Y recuerda que la multiplicación y la división son en sí mismos "definido" (en el cableado eléctrico de la CPU) en términos de la suma y de la resta. Así que cuando usted dígale a su calculadora para evaluar el seno de algún número, la electricidad se dirige a través de los cables de modo que, en realidad, calcula la expresión dada por la serie de Taylor.

Tenga en cuenta que la serie de Taylor es una serie infinita, lo cual es imposible, por supuesto, para que una CPU para evaluar exactamente en general, pero las calculadoras y las computadoras tienen un número fijo de dígitos que puede mostrar todos modos. Por lo tanto, es suficiente utilizar sólo los primeros términos de la serie de Taylor.

Esta barre un montón de detalles debajo de la alfombra, pero espero que aclara las cosas, al menos un poco. Si desea obtener más información, Coursera está ejecutando actualmente un muy buen curso sobre esto. Es gratis. También hay uno en EdX , pero creo que es un poco más avanzada. He estudiado este asunto en la escuela hace 12 años y actualmente estoy usando tanto de estos como cursos de actualización antes de pasar a los más avanzados estudios. El curso de Coursera ha sido realmente útil para los fundamentos, por lo que sin duda recomiendo mirar al menos que uno.

Buena suerte y mantener la curiosidad intelectual va!

Answer 2

Lo que la función seno es realmente, por ejemplo, es simplemente el cociente entre dos de los lados en un triángulo rectángulo. Si sabemos que un ángulo es de 90 grados, y sabemos que el ángulo en el que estamos trabajando con (la que nos están tomando el seno de), entonces sabemos que el tercer ángulo, ya que tienes que añadir a 180.

Entonces, sabemos que la relación de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo (no las longitudes de los mismos). Para el seno, queremos que el lado opuesto al ángulo en el triángulo rectángulo, y la hipotenusa del triángulo rectángulo. Que es lo que el seno es, y eso es lo que la calculadora está diciendo. Esta relación es siempre la misma para un determinado conjunto de ángulos. Si aumentamos un lado de longitud y desea mantener todos los mismos ángulos y todavía tiene un triángulo rectángulo, entonces los otros lados, todos deben cambiar por el mismo factor de escala.

En cuanto a cómo (la calculadora) sabe? Hay muchas maneras. gt6989b la respuesta es uno de ellos. Algunos de los más rudimentarios calculadoras sólo tienen una tabla de valores y, a continuación, la interpolar a partir de ahí. En los viejos tiempos había que buscar en un grande y gordo libro que acabo de enumerar los valores de a muchos, muchos puntos decimales!

Answer 3

La calculadora utiliza la serie de Taylor para funciones trigonométricas. Para encontrar el valor verdadero, tendrá que añadir un número infinito de términos, sino por la precisión de la calculadora, por lo general un número razonablemente pequeño es suficiente. Estos son los que la calculadora es probable que utilice: $$ \begin{split} \sin x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \pm \ldots\\ \cos x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} \pm \ldots\\ \end {} $$ dividida Tengo la sensación de que$\tan x$ se implementa en las calculadoras como$\frac{\sin x}{\cos x}$, pero podría estar equivocado, y su propia serie es posible a utilizar.