¿Por qué es de $(2+\sqrt{3})^{50}$ tan cerca de un número entero?

Question

Yo sólo funcionó $(2+\sqrt{3})^{50}$ en mi equipo y tengo la respuesta

$39571031999226139563162735373.999999999999999999999999999974728\cdots$

¿Por qué es esto tan cerca de un número entero?

Answer 1

Deje que $x=(2+\sqrt{3})^{50} + (2-\sqrt{3})^{50}$

$x$ es claramente un número entero, ya que todos los términos con $\sqrt{3}$ cancelar.

Note que $0<2-\sqrt{3}<1$, por lo que $0<(2-\sqrt{3})^{50}\ll1$

Por lo que $(2+\sqrt{3})^{50} =x-(2-\sqrt{3})^{50}\approx x$.

Answer 2

Los números que tienen esta propiedad se llaman Pisot Vijayaraghavan números.

Pisot demostrado que $x$ tiene la propiedad de que para una "gran" $n$ los números $x^n$ llegar muy cerca de los números enteros, si y sólo si, todos los de la algebraicas conjugados de $x$ satisfacer $|x| <1$.

En este caso, la única algebraicas conjugado de $2+\sqrt{3}$ es $2-\sqrt{3}$, y desde $0< 2-\sqrt{3} <1$ de ello se sigue que $2+\sqrt{3}$ es un número de Pisot.

P. S. La media de Oro, $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ también tiene esta propiedad, lo que lleva a algunas propiedades interesantes de Fibonacci.

Answer 3

Deje que $$x=2+\sqrt { 3 }, \\$$$$ { x }^{ 2 }=7+4\sqrt { 3 }, \\ 4x=8+4\sqrt { 3 } ,$$ por lo tanto $${ x }^{ 2 }+1=4x,\\ x+\frac { 1 }{ x } =4.$$ Tome el cuadrado de lado a lado y repita el proceso $ de${ x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } ={ 4 }^{ 2 }-2\\ { x }^{ 4 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 4 } } ={ \left( { 4 }^{ 2 }-2 \right) }^{ 2 }-2\\ { x }^{ 8 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 8 } } ={ \left( { \left( { 4 }^{ 2 }-2 \right) }^{ 2 }-2 \right) }^{ 2 }-2$$ Se puede ver que $$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ { x }^{ { 2 }^{ n } } } } =0,$$ porque $x=2+\sqrt { 3 }>1.$ A pesar de que de manera intuitiva se puede decir $ \frac { 1 }{ { x }^{ 50 } } \approx0,$ puede comprobar diciendo $x=y^{50/2^n}$, donde $y>1$.