solución general para una EDP de 4º orden

Question

Tengo una ecuación diferencial parcial de cuarto orden del movimiento de un tubo, con condiciones de contorno sujetas, no sé cuál sería la solución general para $W$ :

$$EI \frac{d^4 w(x,t)}{dx^4} + MU^2 \frac{d^2 w(x,t)}{dx^2} + 2MU\frac{d^2 w(x,t)}{dx\,dt} +M \frac{d^2 w(x,t)}{dt^2}=0$$

Necesito conocer la solución general (forma modal) para $w$ (desplazamiento).

$M, E,I,U$ todos son conocidos y constantes ( $U$ es la velocidad de un fluido en el interior del tubo).

Answer 1

Si quieres un único modo de Fourier, estás buscando una solución de la forma $$W=e^{ikx+\omega t}$$ Lo único que te falta es la función de dispersión $\omega(k)$ . Si se introduce la solución anterior en la ecuación, se obtiene la condición $$EI k^4-M (k U-i \omega )^2=0\ ,$$ que tiene la solución $$\omega = i \left(\pm\sqrt{\frac{EI}{M}} k^2 - U k\right)$$ La solución general es una superposición (posiblemente infinita) de modos que satisfacen esta relación. Las condiciones de contorno sujetas te dan una restricción sobre los posibles valores de $k$ .

Answer 2

Si utilizo la separación de variables [ w=S(x)*G(t) ] entonces tendría esta Ec.:

A1 * (d^4 S/dx^4) + A2 * (d^2 S/dx^2) + lambda * S =0

en la que A1 y A2 son constantes conocidas de E,I,M,...

en este caso, el término (d^2 w/dsdt) se suprimiría (eliminaría)

entonces tengo las raíces de la ecuación característica de esta manera :

q1= (-A2/(2A1)) + [ sqrt(A2^2 - 4*lambda*A1) ]/(2A1)

q2= (-A2/(2A1)) - [ sqrt(A2^2 - 4*lambda*A1) ]/(2A1)

entonces mi solución general sería:

S(x)=C1 sen [(sqrt(q1))*x] + C2 cos [(sqrt(q1))*x] + C3 sinh [(sqrt(q2))*x] + C4 cosh [(sqrt(q2))*x]

donde C1,...,C4 son constantes desconocidas a determinar por las condiciones de contorno.

¿es correcto mi procedimiento?