$G$ -isomorfismos de conjunto para acción libre sobre algún producto

Question

Sea $G$ sea un grupo finito, $X$ un conjunto finito en el que $G$ actúa libremente. Consideremos el conjunto $G\times X$ con acción diagonal de $G$ es decir $ h.(g,x) = (hg, h.x).$ Esto también es gratis. Para las órbitas, tenemos $$G(g,x)=G(e,g^{-1}.x)\cong G.$$ Del lema de Burnside y de la libertad obtenemos el número de órbitas: $$ |(G\times X)/G| = |G\times X|/|G| = |X|.$$

Por otra parte, dejemos que ${}_\epsilon X$ sea el mismo conjunto pero con trivial $G$ -acción. Las órbitas en $G \times{}_\epsilon X$ son de nuevo isomorfas a $G$ e indexado por $x\in X$ (de la forma $G(e,x)$ ), por lo tanto

$$ |G\times{}_\epsilon X|/|G| = |X|$$ también.

Así que ambos $G\times X$ y $G\times{}_\epsilon X$ son isomorfas a $$\bigsqcup_{x\in X}G.$$ Me han dicho que son incluso $G$ -conjuntos de isomorfismos, pero no puedo verlo. Mis preguntas son ahora:

1. ¿Cuál es la acción sobre el coproducto?

Mi suposición inicial fue $h.g_x = (hg)_x$ pero no funciona.

2. Si 1. no me ayuda: ¿Cuáles son los isomorfismos?

3. Por último, ¿podemos decir algo parecido si la acción de $G$ sur $X$ ¿no es gratis?

Gracias por cualquier aportación.

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Otras reflexiones: Supongo que la unión disjunta puede tener diferentes acciones, dependiendo de cuál de los productos la induzca. Pero entonces tenemos dos conjuntos teóricamente isomorfos $G$ -conjuntos que no son $G$ -isomorfo, lo que contradice la afirmación verdadera conocida que quiero demostrar: $$ G\times X \cong_{G\mathrm{-set}}G\times{}_\epsilon X $$

Answer 1

Aclaremos esto. Podemos escribir

$$ G\times X = \bigsqcup_{x\in X} G(e,x)\cong \bigsqcup_{x\in X} G_{|x}, $$ donde en el lado derecho $|x$ se entiende como un índice. ¿Por qué podemos hacerlo? Porque si $x\neq y$ entonces las órbitas $G(e,x)$ y $G(e,y)$ son disjuntos. El isomorfismo, llamémoslo $\phi$ viene dada [en los "generadores de órbita"] por $(e,x)\mapsto e_{|x}$ donde $G$ actúa en el lado derecho a través de $g.{e_{|x}} = g_{|x}$ . Queremos esta acción porque las órbitas de una acción libre pueden verse como copias de la acción regular. (Por supuesto, $g.h_{|x} \equiv (hg^{-1})_{|x}$ también habría sido posible, pero ¿para qué complicarse la vida más de lo que ya está?).

$\phi$ se amplía como $G$ -morfismo de conjunto, es decir $$\phi(g,g.x)=\phi(g.(e,x))\equiv g.(\phi(e,x)) = g_{|x}.$$ Para un elemento general $(g,x)$ tenemos pues $$\phi(g, x) = \phi(g.(e,g^{-1}.x))= g_{|g^{-1}.x}. $$ Es importante subrayar aquí que $g^{-1}.x$ es un punto procedente del fijo libre acción de $G$ sur $X$ . La inversa funciona de forma muy parecida, $\phi^{-1}(g_{|g^{-1}.x}) = \phi^{-1}(g.e_{|g^{-1}.x}) = g.\phi^{-1}(e_{|g^{-1}.x}) = g.(e,g^{-1}.x)= (g,x)$ como era de esperar.

Para la parte con la acción trivial, argumentos similares se hacen fácilmente, pero el isomorfismo, que llamaremos $\psi: G\times\,_\epsilon X \to \bigsqcup G$ viene dado simplemente por $\psi(g, x) = g_{|x}$ .

Bien, ahora desde $G\times X$ y $G\times\,_\epsilon X$ son $G$ -al mismo conjunto, son a su vez isomorfos como $G$ -sets, a través de $\phi^{-1}\circ \psi$ y $\psi^{-1}\circ \phi$ . Demos los isomorfismos explícitamente: \begin{align*} \phi^{-1}\circ \psi:G\times\,_\epsilon X &\to G\times X\\ (g,x) &\mapsto \phi^{-1} (g_{|x})= (g,g.x) \\[2em] \psi^{-1}\circ \phi:G\times X &\to G\times\,_\epsilon X\\ (g,x) &\mapsto \phi^{-1} (g_{|g^{-1}.x})= (g,g^{-1}.x) \\[2em] \end{align*}

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Una nota final: Esta es la motivación de lo que sigue. Dada un álgebra de Hopf $H$ en $k$ , a $H$ -módulo $V$ y el mismo módulo equipado con la acción trivial, $\,_\epsilon V$ tenemos $H$ -isomorfismo de módulo \begin{align*} H\otimes_k\,_\epsilon V &\xrightarrow{\sim} H\otimes_k V\\ h\otimes v&\mapsto h_1\otimes h_2.v\ , \end{align*} con inversa $h\otimes v \mapsto h_1\otimes S(h_2).v$ . Efectivamente,

\begin{align*} h\otimes v \mapsto h_1\otimes h_2.v&\mapsto h_{1_1}\otimes S(h_{1_2})h_2.v \\&=h_{1}\otimes S(h_{2_1})h_{2_2}.v \\ &=h_{1}\otimes \epsilon(h_2)v \\ &= h\otimes v \end{align*}

Obsérvese que en el caso de un álgebra de Hopf de grupo $kG$ estos mapas son prácticamente los mismos que los anteriores para el $G$ -caso de set: $S(g) = g^{-1}$ para todos $g\in G$ .