Hallar los coeficientes constantes de la enésima derivada de la función generadora del momento normal estándar

Question

Función generadora de momentos para una normal estándar $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ parece que sí:

$$M_X(s) = \text{exp}(\frac{s^2}{2})$$

Normalmente nos interesa encontrar el $n^{th}$ momento de $X$ por lo que terminamos tomando el $n^{th}$ derivado de $M_X(s)$ con $s$ evaluado a cero. Sin embargo, tengo más curiosidad por saber cuál es la forma final del polinomio $\frac{d^n}{ds^n} M_X(s)$ parece.

Mediante la toma de derivadas sucesivas sabemos que nuestro polinomio debe ser de la forma:

$$p_n(s) = \sum_{i=0}^{n} a_{i}^{(n)}s^i\text{exp}(\frac{s^2}{2})$$

Dónde $p_n$ es el $n^{th}$ derivado de $M_X(s)$

A partir de la relación $p_{n+1} = \frac{d}{ds} p_n$ obtenemos la siguiente relación de recurrencia:

$$a_i^{(n+1)} = (i+1)a_{i+1}^{(n)} + a_{i-1}^{(n)} \hspace{1cm} \text{ with } a_i^{(n)} = 0 \text{ for } i \notin [0,1,\ldots,n]$$

La condición inicial sería $a_0^{(0)} = 1$

¿Cómo puedo resolver esta relación de recurrencia?

Answer 1

$e^{\frac {s^{2}} 2} =\sum_{n=0}^{\infty} \frac {(s^{2})^{n}} {2^{n} n!}$ . Para cualquier serie de potencias convergente $\sum_{n=0}^{\infty} a_n s^{n}$ la derivada n-ésima en $0$ es simplemente $(n!)a_n$ . ¿Puedes escribir ahora los valores de las n-ésimas derivadas?

[ $\frac {d^{k}} {ds^{k}} M_X(s)=\sum_{n\geq k/2} \frac {(2n)(2n-1)\cdots (2n-k+1) s^{2n-k}} {2^{n} n!}].$