No sé muy bien por dónde empezar con este problema. Soy nuevo en anillos polinómicos y quiero aprender a factorizar polinomios en anillos polinómicos formados por campos.
Factor $X^4 + 3$ en factores irreducibles en $F_7[X]$ .
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Gianluca Faraco
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Está trabajando en $\Bbb F_7[x]$ el anillo de polinomios con coeficientes en el campo finito $\Bbb F_7$ . Como también sugirió Will Jagy, $3\equiv -4$ mod $7$ por lo que su polinomio es básicamente $x^4-4$ .
$$x^4-4=(x^2+2)(x^2-2)$$
Tenemos que comprobar otros dos factores. Observe que $3^2=9\equiv 2$ mod $7$ por lo que el segundo factor se divide en $(x+3)(x-3)$ es decir
$$x^4+3=x^4-4=(x^2-2)(x^2+2)=(x+3)(x-3)(x^2+2).$$
Por último, considere $(x^2+2)$ . Puede comprobar a mano que ningún elemento de $\Bbb F_7$ es una solución de $q(x)=x^2+2$ es decir, para cualquier $a\in \Bbb F_7,$ tenemos que $a^2+2\not\equiv 0$ mod $7$ . Por lo tanto, es irreducible.
Por estas razones, la factorización total de $x^4+3$ en $\Bbb F_7[x]$ es $$x^4+3=(x+3)(x-3)(x^2+2)$$
stressed-out
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Como menciona Will Jagy en los comentarios, $x^2+3 \equiv x^2-4 $ en $\mathbb{F}_7$ . Este último se descompone como $(x^2+2)(x^2-2)$ . Ahora bien, como ambos polinomios son de grado inferior a $4$ puede utilizar el siguiente dato:
Un polinomio $p(x)$ de grado como máximo tres es irreducible si y sólo si no tiene raíz.
Nótese que para polinomios de grado cuatro, la afirmación anterior puede fallar. Consideremos $(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1$ sobre los números reales, por ejemplo.
Por lo tanto, sólo tiene que demostrar que $x^2-2$ y $x^2+2$ no tienen raíz en $\mathbb{F}_7$ . Si conoces la reciprocidad cuadrática, puedes usarla aquí para determinar si son irreducibles o no. Resulta que $x^2+2$ es irreducible mientras que $x^2-2=(x+3)(x-3)$ como menciona InsideOut. Si no conoces la reciprocidad cuadrática, compruébalo a mano.
