¿Interpretación de los componentes del espinor de Dirac en representación quiral?

Question

No he conseguido encontrar ningún libro o pdf que explique claramente cómo podemos interpretar las diferentes componentes de un espinor de Dirac en la representación quiral y estoy empezando a desesperarme un poco. Se trata de un tema tan básico/fundamental que no sé muy bien por qué no encuentro nada que lo explique concretamente. Cualquier consejo sobre un libro, recomendación de lectura o explicación sería muy apreciado.

Un espinor de Dirac es un objeto compuesto de dos espinores de Weyl

\begin{equation} \Psi = \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix} fin

donde en general $\chi \neq \xi$ . Un caso especial denominado espinor de Majorana es $\chi=\xi$ . El espinor de carga conjugada es

\begin{equation} \Psi^c = \begin{pmatrix} \xi_L \\ \chi_R \end{pmatrix} . \fin

Quiero entender cómo $\xi_L, \xi_R, \chi_L$ y $\chi_R $ ¿pueden interpretarse en términos de cómo describen partículas/antipartículas de una helicidad dada?

Algunos antecedentes:

Las ecuaciones de movimiento correspondientes son

\begin{equation} \big ( (\gamma_\mu (i\partial^\mu+ g A^\mu ) - m \big )\Psi^c = 0, \end{equation}

\begin{equation} \big ( (\gamma_\mu (i\partial^\mu- g A^\mu ) - m \big )\Psi = 0, \end{equation} donde podemos ver de dónde viene la noción de conjugación de cargas. Estas ecuaciones pueden reescribirse en términos de los espinores de Weyl:

\begin{equation} (i\partial^\mu- g A^\mu ) \begin{pmatrix} \sigma_\mu \xi_R \\ \bar{\sigma}_\mu \chi_L \end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix} \end{equation} \begin{equation} (i\partial^\mu+ g A^\mu ) \begin{pmatrix} \sigma_\mu \chi_R \\ \bar{\sigma}_\mu \xi_L \end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} \xi_L \\ \chi_R \end{pmatrix} \end{equation}

La transformación de conjugación de cargas, muestra que tenemos en principio $\chi \leftrightarrow \xi$ (como se afirma, por ejemplo aquí ), que quizá podamos interpretar como $\chi$ y $\xi$ tener carga opuesta, es decir, describir partícula y antipartícula (lo que he leído en algunos textos sin buenos argumentos). Lo que me molesta de este punto de vista es que si tenemos un espinor de Dirac puramente zurdo

\begin{equation} \Psi_L = \begin{pmatrix} \chi_L \\ 0 \end{pmatrix} fin el espinor de carga conjugada es

\begin{equation} \Psi_L^c = i \gamma_2 \Psi_L = \begin{pmatrix} 0 \\ - i \sigma_2 \chi_L \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \chi_R \end{pmatrix} .\end{equation} Esto nos dice que el conjugado de carga de un espinor zurdo $\chi_L$ es la mano derecha $\chi_R$ y no $\xi_R$ .

Un punto de vista diferente se explica en esta respuesta de Stackexchange . Me interesaría saber cómo podemos identificar concretamente los estados del electrón y del positrón a partir de las soluciones de la ecuación de Dirac (,como se ha recitado anteriormente). Creo que se puede encontrar un intento de explicar esto aquí pero soy incapaz de entenderlo con todas las matemáticas que faltan. Sería estupendo que alguien conociera algún texto que explique estas cuestiones tal y como se afirman en el post de Flip Tanedo, pero con las matemáticas añadidas.

Answer 1

Hasta donde he podido determinar, no es posible, en general, interpretar diferentes soluciones de la ecuación de Dirac como correspondientes a "soluciones electrón" o "soluciones positrón".

Para los fermiones masivos, podemos identificar cuatro espinores independientes que corresponden a una partícula con 4-momentos $p$ . En la representación de Dirac, tenemos dos soluciones correspondientes al ansatz $u(p) e^{- i p \cdot x}$ que para partículas en reposo toman la forma: $$ u_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \mathrm{and} \qquad u_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,. $$ Se dice que corresponden respectivamente al electrón de espín ascendente y al electrón de espín descendente. También tenemos dos soluciones correspondientes al ansatz $v(p)e^{i p \cdot x}$ que para partículas en reposo son: $$ v_1 = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \mathrm{and} \qquad v_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \,. $$ Se dice que corresponden respectivamente al positrón de espín hacia abajo y al positrón de espín hacia arriba. Todo esto parece muy bien, pero ahora repitamos esta receta con sin masa fermiones. Utilizaremos la representación de Weyl, y supondremos que nuestro 3-momento está dirigido a lo largo del positivo $z$ -Eje. Con nuestro ansatz inicial, encontramos que la ecuación de Dirac se reduce a: $$ (\gamma^0 - \gamma^3)u(p) = 0 \,.$$ Sin embargo, con nuestro segundo ansatz, la ecuación de Dirac se reduce a lo mismo: $$ (\gamma^0 - \gamma^3)v(p) = 0 \,.$$ Estas ecuaciones no serían idénticas si $m \neq 0$ . Sólo hay dos soluciones independientes: $$ u_1 = v_1 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \mathrm{and} \qquad u_2 = v_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \,. $$ Por lo tanto, no podemos interpretar simplemente un espinor concreto como correspondiente a un "electrón con espín hacia arriba", por ejemplo, porque el mismo espinor también tendría que corresponder a un "positrón con espín hacia abajo".

La expectativa de que deberíamos haber encontrado cuatro soluciones -una para cada una de las cuatro opciones posibles de arriba/abajo y partícula/antipartícula- me parece errónea, porque las antipartículas sólo son un concepto significativo en la teoría cuántica, y no tienen por qué corresponderse con espinores independientes en la teoría clásica. A modo de ejemplo, una teoría con dos fermiones de igual masa pero distintos en todo lo demás tendría ocho estados cuánticos diferentes para cada elección de momento, pero desde luego no encontraríamos ocho soluciones de espinor diferentes para las ecuaciones clásicas. Tu "electrón" con espín y tu "muón" con espín estarían descritos por el mismo espinor, ¡pero eso no los convierte en el mismo estado!

Answer 2

Herísticamente, se reduce al hecho de que la transformación de paridad (P) invierte el signo de la $\gamma$ matrices, mientras que CT convierte $\gamma^\mu\to-\left(\gamma^\mu\right)^T$ . Se trata de nuevo de representaciones equivalentes del álgebra de Dirac, y los entrelazamientos se denominan comúnmente $\gamma^5$ y $C$ . Nótese que las propias transformaciones C y T no son simetrías del álgebra de Dirac.

Usted parece utilizar la convención en la que el $\gamma$ están compuestas por las matrices de Pauli, $$\gamma=\begin{pmatrix}0&\sigma^\mu\\\bar\sigma^\mu&0\end{pmatrix}\,.$$ Toma, $\sigma^\mu=\left(\mathbb I,\sigma^i\right)$ y $\bar\sigma^\mu=\left(\mathbb I,-\sigma^i\right)$ . ( $\mathbb I$ es la matriz unitaria - no consigo el trazo doble adecuado 1). A continuación, $$\gamma^5=\text{i}\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 =\begin{pmatrix}\mathbb I&0\\0&-\mathbb I\end{pmatrix}\,,$$ y los proyectores quirales $P_{L/R}=\frac{1}{2}\left(1\pm\gamma^5\right)$ se proyectan sobre los dos componentes superior e inferior de un cuatro-espinor. Por lo tanto, los espinores quirales son $$\Psi_L=\begin{pmatrix}\chi_\alpha\\0\end{pmatrix}\quad\text{ and }\quad\Phi_R=\begin{pmatrix}0\\\bar\xi^{\dot\alpha}\end{pmatrix}\,.$$ (La colocación de los índices y de los distintos signos es una cuestión de convención.) Sus "conjugados de carga" son $$\left(\Psi_L\right)^c=C\overline{\Psi_L}^T=\begin{pmatrix}0\\\bar\chi^{\dot\alpha}\end{pmatrix}$$ y similares para $\Phi_R$ . Se ve que esto invierte la quiralidad, pero también la carga: Las cargas están determinadas por la transformación bajo algún $U(1)$ y como se trata de conjugación compleja, la transfromación se invierte. Para grupos no abelianos, se acaba en la representación conjugada. En ambos casos, se obtiene un objeto de carga opuesta al original. Por lo tanto, un espinor de Majorana, es decir, un espinor de Dirac que es igual a su carga conjugada, no puede tener una representación $U(1)$ cobrar (o estar en una representación no real). Además, un espinor de este tipo puede describirse igualmente bien mediante un único espinor de Weyl zurdo (o diestro). (Nótese que esto es diferente en seis o diez dimensiones, donde la conjugación de cargas no invierte la quiralidad).

Así que para describir el electrón (en realidad, una versión de juguete con sólo cargas eléctricas y sin cargas débiles), se pueden utilizar dos espinores quirales izquierdos, $\chi_\alpha$ y $\xi_\alpha$ de carga opuesta o un objeto de cuatro componentes $$\Psi=\begin{pmatrix}\chi_\alpha\\\bar\xi^{\dot\alpha}\end{pmatrix}\,.$$