Encontrar una matriz $A$ para cada una de las condiciones dadas

Question

Representar cada una de las tres funciones siguientes $f : {\bf R}^2 {\bf R}^2$ como producto matriz-vector $f(x) = Ax$ .

(a) $f(x)$ se obtiene reflejando $x$ sobre el $x_1$ eje.

(b) $f(x)$ es $x$ reflexionó sobre la $x_1$ seguido de una rotación de 30 grados en sentido contrario a las agujas del reloj.

(c) $f(x)$ es $x$ girado 30 grados en el sentido contrario a las agujas del reloj, seguido de una reflexión sobre el $x_1$ eje.

Answer 1

Tome la base estándar de $\mathbb{R}^2$ , $(b_1, b_2) = (\binom{1}{0}, \binom{0}{1})$ . A continuación, calcule $f(b_1)$ y $f(b_2)$ . $f(b_1)$ será la columna de la izquierda y $f(b_2)$ será la columna derecha de su Matriz $A$ .

Answer 2

Basta con comprobar lo que ocurre con los vectores de base estándar. Para (a), obsérvese que $f(1,0) = (1,0)$ que nos dice que la primera columna de $A$ será $(1,0)$ . Del mismo modo, $f(0,1) = (0,-1)$ lo que nos indica que la segunda columna de $A$ será $(0,-1)$ . En conjunto, encontramos que $$ A = \pmatrix{1&0\\0&-1} $$ Tenga en cuenta también que si $B$ es la matriz que describe la transformación en (b), entonces el producto matricial $AB$ será la respuesta a (c).

Answer 3

Sea $x = [x_1, x_2]^T$

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1. Queremos $x$ para terminar $[x_1, -x_2]^T$

a través de $$T(x) = Ax$$ para algunos $A$ .

Por lo tanto, resuelva

$$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}[x_1, x_2]^T=[x_1, -x_2]^T$$

para obtener

$$\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$

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2,3

En primer lugar, para obtener una rotación en sentido antihorario solamente, consulte Larson Edwards Falvo - Álgebra Lineal Elemental Sección 6.1

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Así,

$$\begin{bmatrix} \cos(30^o) & -\sin(30^o)\\ \sin(30^o) & \cos(30^o) \end{bmatrix}[x_1, x_2]^T = [\sqrt{x_1^2+x_2^2}\cos(30^{o} + \alpha), \sqrt{x_1^2+x_2^2}\sin(30^{o} + \alpha)]^T$$

donde $$\cos(\alpha) = \frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}$$

Ejercicio: ¿Cuál es para 2? ¿Para 3?

$$T(x) = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos(30^o) & -\sin(30^o)\\ \sin(30^o) & \cos(30^o) \end{bmatrix}[x_1, x_2]^T$$

$$T(x) = \begin{bmatrix} \cos(30^o) & -\sin(30^o)\\ \sin(30^o) & \cos(30^o) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}[x_1, x_2]^T$$