¿En qué consiste la teoría de la propagación de ondas de Maxwell y cuál es su interpretación física?
Respuesta
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Antes de Maxwell, se pensaba que las leyes conocidas del electromagnetismo eran:
$$\begin{array}{ll} \nabla \cdot \vec{D} = \rho& \text{Gauss's Law for Electricty}\\ \nabla \cdot \vec{B} = 0& \text{Gauss's Law for Magnetism}\\ \nabla \wedge \vec{E} = -\partial_t \vec{B}& \text{Faraday's Law}\\ \nabla \wedge \vec{H} = \vec{J}& \text{Amp}\grave{\text{e}}\text{re's Law}\\ \end{array}\tag{1}$$
donde $\vec{E},\,\vec{H},\,\vec{D},\,\vec{B}$ son el campo eléctrico y magnético, el desplazamiento eléctrico y la inducción magnética, respectivamente y $\rho,\,\vec{J}$ los vectores de carga eléctrica y densidad de corriente, respectivamente.
El gran problema era que la ley de Ampère, tal como estaba, era incompatible con el principio de conservación de la carga. Si se toma la divergencia vectorial de ambos lados de la ley de Ampère anterior a Maxwell, se obtiene $\nabla\cdot\vec{J} = 0$ mientras que el enunciado general de la conservación de la carga es $\nabla\cdot\vec{J} = -\partial_t \rho$ . Esta última forma expresa el hecho, por ejemplo, de que las cargas pueden acumularse en las placas del condensador mientras la carga neta del sistema no cambie, mientras que $\nabla\cdot\vec{J} = 0$ significa que las líneas de flujo de corriente no pueden terminar en cualquier parte (como lo hacen en las placas de los condensadores en los circuitos variables en el tiempo). Digo más sobre la interpretación física intuitiva de esta discrepancia en mi respuesta aquí . Para abreviar, una forma (no la única) de deshacerse de estas incoherencias es postular que la RHS de la ley de Ampère debería ser en su lugar $J+\partial_t \vec{D}$ ; entonces si se toma la divergencia de ambos lados de la ley de Ampère se obtiene la ecuación de continuidad $\nabla\cdot\vec{J} = -\partial_t \rho$ . Esto es exactamente lo que hizo Maxwell.
Una vez hecho esto, puede demostrarse que las seis componentes cartesianas de los vectores de campo eléctrico y magnético en el espacio libre cumplen la ecuación de onda de D'Alembert:
$$c^2 \nabla^2 \psi = \partial_t^2 \psi$$
que es la ecuación para una onda sin dispersión. Para ver esto, en una dimensión espacial la ecuación es:
$$c^2 \partial_x^2 \psi = \partial_t^2 \psi$$
y su solución general es:
$$\psi = f(x-c\,t) + g(x + c\,t)$$
donde $f$ y $g$ son arbitrarias, continuamente dos veces diferenciables ( $C^2$ ). Son ecuaciones para impulsos con forma invariante (definidas por $f$ y $g$ ) funcionando a velocidad $c$ .
