Demostrar que para todo vector $V$ , $||V||_{\infty} \leq ||V||_2 \leq || V||_1$

Question

$\newcommand{\inf}{||V||_\infty}$ $\newcommand{\two}{||V||_2}$ $\newcommand{\one}{||V||_1}$

Demostrar que para todo vector $V$ , $\inf \leq \two \leq \one$

He intentado buscar en Internet una solución a esta pregunta, pero sólo he averiguado la parte fácil.

Lo sé por definición:

• $\inf = \text{max}|x_i|$
• $\two = \displaystyle(\sum_{i=1}^n(x_i^2))^\frac{1}{2}$
• $\one = \displaystyle\sum_{i=1}^n|x_i|$

Ahora, para mí, es obvio por qué $\inf \leq \one$ . Si el $\inf$ es la única entrada máxima en el vector, y el $\one$ es la suma de todas las entradas del vector, está claro que $\one$ contiene $\inf$ en su suma. Supongo que esta lógica valdría para por qué $\inf \leq \two$ también.

Me cuesta ver por qué $\two \leq \one$ .

Answer 1

Compara el cuadrado de las normas.

$||V||_2^2 = \sum\limits_{i=1}^n x_i^2$ .

$||V||_1^2 = \sum\limits_{i=1}^n x_i^2 + \sum\limits_{i < j}2|x_i||x_j|$ .

Answer 2

Ahora que lo sabes $\|V\|_{\infty}\leq \|V\|_1$ un argumento sencillo sería:

$$ \|V\|_2^2 = \sum^{n}_{i=1} |x_i|^2 \leq \max_{1\leq i\leq n} |x_i| \left(\sum^{n}_{i=1} |x_i| \right) = \|V\|_{\infty}\,\|V\|_1 \leq \|V\|_1^2 $$

Answer 3

El siguiente método es algo más engorroso que los sugeridos por otros, pero tiene la ventaja de trabajar con otros exponentes.

Consideremos en primer lugar el caso en que $\|V\|_1 = 1$ . Entonces $\|V\|_\infty\le 1$ (como ya ha demostrado), por lo que todo $|x_i|\le 1$ lo que implica $|x_i|^2\le|x_i|$ . Suma de $i$ y sacando la raíz cuadrada se obtiene $\|V\|_2\le\|V\|_1^{1/2}=1=\|V\|_1$ .

Consideremos ahora el caso $\|V\|_1\ne 0$ . Sea $U=\frac1{\|V\|_1} V$ Entonces $\|U\|_1=1$ por lo que por el caso anterior, $\|U\|_2\le\|U\|_1$ multiplicando por $\|V\|_1$ produce $\|V\|_2\le\|V\|_1$ .

Por último, si $\|V\|_1=0$ entonces $V=0$ Así que $\|V\|_2=0$ .