¿Son compactas todas las estrellas regulares del espacio metaLindelof?

Question

Un espacio topológico $X$ se dice que es estrella compacta si siempre que $\mathscr{U}$ es una cubierta abierta de $X$ existe un subespacio compacto $K$ de $X$ tal que $X = \operatorname{St}(K,\mathscr{U})$ .

La compacidad estelar es más fuerte que la pseudocompacticidad y más débil que la compacidad contable.

¿Son compactas todas las estrellas regulares del espacio metaLindelof?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Aquí doy una prueba para la pregunta. Sin embargo, no estoy seguro de que sea correcta. ¿Podría ayudarme? Gracias por sus comentarios.

Prueba: Sea $X$ sea un espacio metaLindelöf compacto estelar. Para demostrar que $X$ es compacta basta con demostrar que $X$ es Lindelöf ya que cada espacio estelar regular compacto de Lindelöf es compacto.

Supongamos que no. Entonces existe una cubierta abierta $\mathcal U$ de $X$ tal que $\mathcal U$ no contiene ninguna subcubierta contable. Dado que $X$ es metaLindelöf, se deduce que $\mathcal U$ tiene un refinamiento abierto punto-contable $\mathcal U'$ . Para $\mathcal U'$ como una cubierta abierta de $X$ existe un conjunto discreto cerrado $D$ de $X$ tal que $\operatorname{St}(D, \mathcal U') = X$ . Para verlo, elija inductivamente un punto $x_\alpha \notin \operatorname{St}(\{x_\beta: \beta < \alpha\}, \mathcal U')$ . Si $\lambda$ es el primer ordinal para el que esta elección es imposible, entonces $D=\{x_\alpha: \alpha < \lambda \}$ es un subconjunto discreto cerrado de $X$ y $\operatorname{St}(D, \mathcal U') = X$ . Es evidente que $|D| > \omega$ de lo contrario $\mathcal U$ contendría subcubierta contable.

Sea $\mathcal W=\{\operatorname{St}(x_\alpha, \mathcal U'): x_\alpha \in D\}$ . Claramente, $\mathcal W$ es una nueva cubierta abierta contable por puntos de $X$ cuya cardinalidad es mayor que $\omega$ . Desde $X$ es estrella compacta, se deduce que existe un subconjunto compacto $K$ de $X$ tal que $\operatorname{St}(K, \mathcal W) = X$ . No es difícil ver que, para cada $x_\alpha \in D$ , $K \cap \operatorname{St}(x_\alpha, \mathcal U') \not= \emptyset$ . Elige un punto $y_\alpha \in K \cap \operatorname{St}(x_\alpha, \mathcal U')$ y que $K'=\{y_\alpha: \alpha < \lambda\} \subset K$ . Es evidente que $|K'| > \omega$ de lo contrario podemos concluir que $|\mathcal W| \le \omega$ lo que contradice que $|\mathcal W| > \omega$ .

Por último, demostramos que $K'$ es un subconjunto discreto cerrado de $K$ . Para basta con demostrar que para cualquier $z \in X \setminus K'$ , existe una vecindad $U$ de $z$ tal que $U \cap K'=\emptyset$ . De hecho, desde $\mathcal W$ cubre $X$ existe un punto $x_\alpha \in D$ tal que $z \in \operatorname{St}(x_\alpha, \mathcal U')$ . Elija un conjunto abierto $U$ tal que $y_\alpha \notin U$ y $U \subset \operatorname{St}(x_\alpha, \mathcal U')$ . Claramente, $U \cap K' = \emptyset$ .

Ahora podemos concluir que $K'$ es un subconjunto discreto cerrado infinito de $K$ . Esto contradice $K$ es compacto. Esto completa el prueba.

Answer 2

$\newcommand{\st}{\operatorname{st}}$ También se puede derivar el resultado como corolario del resultado de que a $T_1$ , estrella-Lindelöf, el espacio metaLindelöf es Lindelöf, lo que puede demostrarse utilizando las mismas ideas, pero quizá incluso más fácilmente.

Supongamos que $X$ es $T_1$ estrella-Lindelöf y metaLindelöf. Sea $\mathscr{U}$ sea una cubierta abierta de $X$ ; $\mathscr{U}$ tiene un refinamiento abierto $\mathscr{V}$ y existe un Lindelöf $A\subseteq X$ tal que $\st(A,\mathscr{V})=X$ . Construir recursivamente un conjunto $A_0=\{x_\xi:\xi<\alpha\}\subseteq A$ tal que $\bigcup_{\xi<\alpha}\st(x_\xi,\mathscr{V})=X$ y $x_\eta\notin\st(x_\xi,\mathscr{V})$ siempre que $\xi<\eta<\alpha$ . Para $\xi<\alpha$ deje $W_\xi=\st(x_\xi,\mathscr{V})$ ; $W_\xi\cap A_0=\{x_\xi\}$ Así que $A_0$ es un subconjunto cerrado y discreto de $X$ . Pero entonces $A_0$ es un subconjunto cerrado del subespacio de Lindelöf $A$ Así que $A_0$ es Lindelöf y, por tanto, debe ser contable, $\{V\in\mathscr{V}:V\cap A_0\ne\varnothing\}$ es una subcubierta contable de $\mathscr{V}$ y $X$ es Lindelöf.