Algunos estiman una serie por integral

Question

Sea $a \in (0,1)$ . ¿Existe una constante $C>0$ o función $C(a)>0$ que puede estar en función de $a$ pero no $k$ tal que $$ \sum_{n=1}^\infty a^n n^k \leq C(a) \int_0^\infty a^x x^k dx $$ para todos $k \in \mathbb N$ ?

Answer 1

Recordando la transformada de Mellin

$$ F(s)=\int_{0}^{\infty} x^{s-1} f(x) dx. $$

Nuestra integral no es más que la transformada de Mellin de la función $a^x=e^{\ln(a)x}$ . Ahora bien, si $a \in (0,1) $ entonces $\ln(a) < 0 $ y tenemos

$$ \int_{0}^{\infty} a^x x^{k} dx = \int_{0}^{\infty} x^{k} e^{\ln(a)x} dx= \int_{0}^{\infty} x^{k} e^{-\ln(\frac{1}{a})x} dx = \frac{\Gamma(k+1)}{(-\ln(a))^{k+1}}. $$

La última integral puede evaluarse utilizando el cambio de variables $ t=\ln\left (\frac{1}{a} \right)x $ y la función gamma

$$ \Gamma( s+1 ) = \int_{0}^{\infty} t^{s}e^{-t}dt. $$

Nota: He aquí algunos valores numéricos de la suma $S$ y la integral $I$ que muestran que son casi iguales

$$ (k,a)=(3,1/2) \implies S = 26.00000000,\quad I = 25.99258100 $$

$$ (k,a)=(10,1/7) \implies S = 2395.590764,\quad I = 2395.589595 $$

Answer 2

Déjalo: \begin{align} a&\in (0,1)\\\ k&\in\mathbb{N}\\ f_k&\equiv \sum_{n=1}^\infty a^n n^k\\\ g_k&\equiv \int_{x=0}^\infty a^x x^k dx. \end{align} Entonces: \begin{align} f_0 &= \frac{a}{1-a}\\\ \\ f_k &= a\frac{df_{k-1}}{da}\\\ \\ g_k &= \frac{(-1)^{k+1}k!}{\ln(a)^{k+1}}. \end{align}

Para $g_k$ tenemos la suerte de contar con una solución explícita (como señala Mhenni). La relación de recurrencia para $f_k$ junto con la condición inicial definen de forma única toda la serie $f_k\ \forall\ k\in\mathbb{N}$ : \begin{align} f_1 &= \left(\frac{a}{1-a}\right) + \left(\frac{a}{1-a}\right)^2 = \frac{a}{(a-1)^2}\\ f_2 &= \left(\frac{a}{1-a}\right) + 3\left(\frac{a}{1-a}\right)^2 + 2\left(\frac{a}{1-a}\right)^3 = \frac{a(a+1)}{(1-a)^3}\\ f_3 &= \left(\frac{a}{1-a}\right) + 7\left(\frac{a}{1-a}\right)^2 + 12\left(\frac{a}{1-a}\right)^3 + 6\left(\frac{a}{1-a}\right)^4=\frac{a(a^2+1+4a)}{(a-1)^4}\\ &\ldots \end{align} Cada uno de los términos del $f_k$ son positivos, por lo que $f_{k+1}>f_k\ \forall\ k\in \mathbb{N}$ .

Utilizando lo anterior, se puede definir la relación $C_k \equiv f_k/g_k$ . Todos los $C_k$ son funciones finitas de $a$ que varían suavemente en el intervalo $a\in(0,1)$ . Sin embargo, si se quiere definir la desigualdad $f_k\leq Cg_k\ \forall k\in\mathbb{N}\ \forall a\in(0,1)$ para algunos $C\in \mathbb{R}$ necesitarías $C=\max(C_k)$ donde la maximización es sobre ambos $k$ y $a$ . No estoy seguro de si tal $C$ existe o no.