¿Es esto suficiente para demostrar que $f(p) \leq g(p)$ es válido para $p \geq 0$ ?

Question

$f(p) = 1 - p, g(p) = e^{-p}$ He demostrado que $f(0) = g(0)$ y $f'(p) \leq g'(p)$ . ¿Es esto suficiente para demostrar que $f(p) \leq g(p)$ es válido para $p \geq 0$ ? ¿Hay algún teorema específico que deba enunciar?

Gracias.

Answer 1

Sí, es un resultado del teorema fundamental del cálculo, combinado con la monotonía de las integrales. Básicamente, si $f,g$ son continuamente diferenciables de modo que $f(x_0)\leq g(x_0)$ y $f'(x)\leq g'(x)$ para $x>x_0$ .

Entonces $$ f(x) = f(x_0)+\int_{x_0}^x f'\,\mathrm d x \leq g(x_0)+\int_{x_0}^x g'\,\mathrm d x = g(x) $$

Pero en tu ejemplo basta con ver que sólo necesitas considerar $p<1$ (como $g>0$ ). Entonces $f(p)\leq 1$ y $g(p)\geq 1$ .