Una pregunta sobre el Teorema de Lusin

Question

Consideramos únicamente el conjunto $M$ de funciones mensurables a.e. esencialmente acotadas localmente $[0, 1] \to \mathbb R$ . Aquí $m(S)$ denota la medida de Lebesgue de $S$ .

Sea $f$ ser mensurable. Para cada $e$ en $(0, 1]$ por el teorema de Lusin, podemos escribir nuestra función medible como continua en $[0, 1]-H$ y horrible en un set $H$ de medida $e$ . ¿Cómo varía "horrible" con $e$ ?

Una forma de cuantificar "horrible" es preguntarse cómo de discontinua es la función en $H$ . Inspirándonos en esto, calculamos la oscilación puntual media de la función de $H$ . Formalmente es la integral de la oscilación esencial de $f$ en $H$ dividido por $m(H)$ . Como la oscilación es semicontinua superior, es integrable. Además, tomamos el mínimo de todos los $H$ de medida inferior o igual a $e$ .

Así $$ O(f, e) \mathrel{:=} \inf_{\substack{m(H) \le e,\\ f\in C^0[0, 1] \setminus H}}\left\{\ \frac{1}{m(H)} \int\limits_{x \in H} \lim_{d \to 0}\ \inf_{m(G) = 0} \sup_{\substack{y, z \in B_d (x)\setminus G}} \lvert f(y) - f(z)\rvert\mathrm{d}x\right\}. $$

El resultado final es que para cada $e$ obtenemos una función $O(f): (0, 1] \to [0, \infty) $ describiendo lo horrible que es el comportamiento de la discontinuidad en el mejor comportamiento $H$ que podemos encontrar.

Pregunta:

Llamar a una función $f$ domar si $O(f, e) = 0$ para todos $e$ . ¿Es cierto que una función es mansa si coincide a.e. con una función que es continua a.e.?

Answer 1

Se puede construir un contraejemplo a este problema de la siguiente manera. Tomemos una secuencia $(K_n)_{n\in\omega}$ de conjuntos compactos no densos disjuntos en ningún lugar $K_n\subset[0,1]$ de medida de Lebesgue positiva $\lambda(K_n)>0$ tal que $\sum_{n=0}^\infty\lambda(K_n)=1$ . Consideremos la función $f:[0,1]\to [0,1]$ definido por $$ f(x)=\begin{cases}\frac1{2^n}&\mbox{if $x\in K_n$ for some $n\in\omega$;}\\ 0&\mbox{otherwise}. \end{cases} $$

Es fácil ver que la función $f$ no es continua a.e.

Por otra parte, para cada $\varepsilon >0$ podemos elegir $n\in\mathbb N$ tan grande que $\frac1{2^n}<\varepsilon$ y $\sum_{i>n}\lambda(K_i)<\varepsilon$ . Entonces el conjunto $H=[0,1]\setminus \bigcup_{i\le n}K_i$ tiene medida $\lambda(H)<\varepsilon$ y $f$ tiene oscilación $\le \frac1{2^n}<\varepsilon$ en puntos del conjunto abierto $H$ (porque $f(H)\subset [0,\frac1{2^n}]$ ).