Intersección de dos cilindros

Question

¿Cuál es la forma más sencilla de hallar el área de la superficie creada cuando el cilindro $$x^2+z^2=1\text { intersects the cylinder }y^2+z^2=1.$$

He utilizado integrales dobles y también integrales de línea para hallar el área de la superficie creada cuando el cilindro $x^2+z^2=1$ se cruza con $ y^2+z^2=1.$

La integral de línea es mucho más fácil que la integral doble. ¿Hay alguna forma de encontrar esta superficie sin utilizar integrales?

Answer 1

\begin{align} R &= \{ 0<x<1,-x<y<x,z=\sqrt{1-x^2} \} \\ S &= 8\iint_R dA \\ z &= \sqrt{1-x^2} \\ z_x &= -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\ z_y &= 0 \\ dA &= \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} \, dx \, dy \\ &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \, dy \\ S &= 8\int_{0}^{1} \int_{-x}^{x} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dy \, dx \\ S &= 8\int_{0}^{1} \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \\ &= 16 \end{align}

Véase también la antigua obra china, Nueve capítulos 《九章算術》comentado por Liu Hui (劉徽) aquí .

Anexo En la figura anterior, las intersecciones entre dos cilindros (amarillo y cian) son dos elipses, a saber $$x^2=y^2=1-z^2$$

Considere la región púrpura $T=\{ 0<y<x<1,x=\sqrt{1-z^2} \}$ que está delimitada por un semicírculo en $xz$ -y una semielipse, a saber

$$(x,y,z)=(\sin \theta,\sin \theta,\cos \theta)$$

Ahora desenvolver el cilindro, $$s=\theta \implies y=\sin s$$ por lo que obtenemos una curva senoidal (verde).

La superficie de la región morada $T$ es

$$\int_0^\pi \sin \theta \, d\theta=2$$

que es $\dfrac{1}{8}$ de la superficie total.