¿Existe un campo $K$ y $x \in K$ con $K(x^{1/4})=K(x^{1/2}) \neq K$

Question

Quiero saber si existe un campo $K$ y $x \in K$ con $K(x^{1/4})=K(x^{1/2}) \neq K$.

Hasta ahora, mi intento: si $K(x^{1/2}) \neq K$, entonces $x^{1/2} \notin K$ por lo que el polinomio mínimo de $x^{1/2}$ sobre $K$ tiene un grado $>1$ y por lo tanto es $X^2-x$. Entonces $[K(x^{1/2}):K] = 2$ y $\{1, x^{1/2}\}$ es una base de $K$ para $K(x^{1/2})$. Dado que $K(x^{1/4})=K(x^{1/2})$, tenemos que $x^{1/4} \in K(x^{1/2})$ por lo que existen $a, b \in K$ tales que $x^{1/4} = a + bx^{1/2}$.

Luego intenté reorganizar y elevar al cuadrado ambos lados, etc., para ver si podía encontrar algo útil, pero no llegué a ninguna parte... ¿Algún consejo? ¡Ni siquiera sé si tal $K$ existe en absoluto!

Answer 1

Sí. $K= \mathbb R$, $x=-1$.

Agregado: Generalizando comentarios de k.stm y Jyrki Lahtonen, así como de reuns bajo el OP, afirmo que asumiendo $char(K) \neq 2$, tal $x \in K$ existe si y solo si $-1$ no es un cuadrado en $K$. La prueba, así como el caso $char(K)=2$, se dejan como ejercicio.

Answer 2

$s=x^{1/4}$ , $d= x^{1/2}$

s£ k(d)==> s=a+bd ===> s^2 =a^2 +b^2d^2 +2abd ==> d=a^2+b^2x+2adb ===> d( 1-2a) = a^2 +x d= ( 1-2ab)^(-) ( a^2+xb^2) , if 1-2ab#0 ==> d£K but this absurde since k( d) #k sorry i have note Latex for better redaction