¿Puede un conjunto contable contener incontables subconjuntos infinitos tales que la intersección de dos subconjuntos distintos sea finita?

Question

¿Puede un conjunto contable contener incontables subconjuntos infinitos tales que la intersección de dos subconjuntos distintos sea finita?

Answer 1

Elige $S = \cup_{n \in \mathbb N} \{0;1\}^{\{1;2;\ldots;n\}}$ el conjunto de funciones de un conjunto finito a $\{0;1\}$ . Para cualquier función $f : \mathbb N \to \{0;1\}$ , dejemos que $g(f) = \{ f|_{\{1;2;\ldots;n\}}, n \in \mathbb N\}$ : $g(f)$ es el subconjunto de $S$ que contiene todas las restricciones de $f$ .

A continuación, el conjunto $\{g(f), f : \mathbb N \to \{0;1\}\}$ es un subconjunto incontable de $\mathcal P(S)$ (porque $g$ es inyectiva y hay incontables funciones $f$ ) donde dos subconjuntos distintos cualesquiera tienen intersección finita (si $f_1$ y $f_2$ son distintos, discrepan en algún número entero $n$ del que difieren todas sus restricciones).

Además, esto es casi lo mismo que elegir $S$ como el conjunto de subconjuntos finitos de $\mathbb{N}$ y $g : \mathcal P(\mathbb N) \to \mathcal P( S)$ la inyección dada por $g(X) = \{X \cap \{1 ; 2 ; \ldots n \}, n \in \mathbb N\}$ .