¿Puede un conjunto contable contener incontables subconjuntos infinitos tales que la intersección de dos subconjuntos distintos sea finita?

Question

¿Puede un conjunto contable contener incontables subconjuntos infinitos tales que la intersección de dos subconjuntos distintos sea finita?

Answer 1

Sí. Por cada $r\in\mathbb R$ elegir una secuencia de números racionales $\{r_n\in\mathbb Q\mid n\in\mathbb N\}$ que converge monotónicamente a $r$ esta secuencia es, por supuesto, un subconjunto de $\mathbb Q$ - un conjunto contable.

Si $r\neq s$ son dos números reales entonces la secuencia que elegimos para ellos debe intersecarse en un subconjunto finito, de lo contrario tendríamos una subsecuencia de los dos que convergería a dos puntos límite diferentes.

Desde $\mathbb R$ es incontable (y de hecho tiene cardinalidad como $\mathcal P(\mathbb Q)$ ) tenemos de hecho incontables subconjuntos de $\mathbb Q$ con la propiedad deseada.

Answer 2

Sea P el conjunto de todos los números primos, que es contable. Consideremos un subconjunto infinito A = { $p_0,p_1,p_2...$ } de primos de P ordenados de forma creciente. Formamos $B_A$ = { $p_0,p_0p_1,p_0p_1p_2,...$ } correspondiente a A.

Ahora, la factorización en primos es única para los números enteros. Por lo tanto, si elegimos otro subconjunto infinito $A_1$ de P diferente de A entonces la correspondiente $B_{A_1}$ y $B_A$ sólo tiene un número finito de elementos en común. Como P es contablemente infinito, el número de subconjuntos infinitos diferentes de P es continuo. Por tanto, hemos terminado.

Answer 3

Sí. Sabemos que $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Q}$ son equipotentes por lo que elegimos una biyección $f:\mathbb{N} \to \mathbb{Q}$ . También sabemos que $\mathbb{R}$ es equipotente al conjunto de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy en $\mathbb{Q}$ . Para cada $r \in \mathbb{R}$ elija $(q_{r,n})_n$ un representante de la clase de equivalencia correspondiente a $r$ . Tenga en cuenta que si $r_1\neq r_2 \in \mathbb{R}$ entonces $q_{r_1,n} = q_{r_2,n}$ para un número finito de $n$ . Desde $f$ es una biyección tenemos que las secuencias $(m_{r,n})_n := (f^{-1}(q_{r,n}))_n \subseteq \mathbb{N}$ comparten la misma propiedad. Dado que $\mathbb{R}$ es incontable esto concluye la prueba; basta con elegir el subconjunto $N_\alpha$ para ser el rango de $m_\alpha$ .

Answer 4

Otra solución: Desde $\mathbb{N}$ y $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ son equivalentes, y la cardinalidad de $\mathbb{N}$ es $\omega$ podemos trabajar en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ . Fijar un $m \in \mathbb{R}$ , dejemos que $A_m$ sea el conjunto de puntos $(x,y) \in \mathbb{N}\times\mathbb{N}$ que son de distancia $\leq 1$ de la línea $y = mx$ . $A_m$ es infinito ya que tiene un punto en cada línea vertical x=k (k=0,1,2,...) y para 2 líneas cualesquiera $y = mx$ y $y= m_1x$ para $m \neq m_1$ sólo hay un número finito de puntos situados a una distancia $\leq$ 1 de ambos, así que, $\ A_m\cap \ A_{m_1}$ es finito. Estos conjuntos $\ A_m$ son los subconjuntos requeridos que son continuos muchos.

Answer 5

Para cada $t\in(\frac1{10},1),$ tome su expansión decimal (o una de sus expansiones decimales en caso de no unicidad), y sea $A_t$ sea el conjunto de todos los truncamientos finitos de esa expansión decimal, considerados como enteros positivos. Por ejemplo, $$A_{\frac13}=\{3,\ 33,\ 333,\ 3333,\ 33333,\dots\},$$ $$A_{\pi-3}=\{1,\ 14,\ 141,\ 1415,\ 14159,\dots\}.$$