¿Están abiertos todos los conjuntos básicos? (y otras cuestiones que me confunden)

Question

Según Willard,

Si $(X,\tau)$ es un espacio topológico, una base para $\tau$ es una colección $\mathscr{B} \subset \tau$ tal que $\tau=\{ \bigcup_{B \in \mathscr C} : \mathscr C \subset \mathscr B\}$ . Evidentemente, $\mathscr B$ es una base para $X$ si siempre que $G$ es un conjunto abierto en $X$ y $p \in G$ hay algo de $B \in \mathscr B$ tal que $p \in B \subset G$ .

Pregunta 1: ¿Es seguro suponer que en la frase que comienza con "Evidentemente" se supone que $\mathscr B \subset \tau$ ya que, de lo contrario, el enunciado iff no es verdadero.

Pregunta 2: Me han dicho que no todos los conjuntos básicos son abiertos, pero parece por la definición anterior que están definidos como abiertos.

Comentario a la pregunta 2: También hay una definición de ser una base para "una" topología. ¿Es esto lo que se quería decir con que no todos los conjuntos básicos son abiertos? ¿Se trata sólo de una cuestión semántica, es decir, que los conjuntos básicos son abiertos en la topología de la que la base es base, pero no abiertos en general? ¿O puede haber una base para una topología en la que los conjuntos básicos no sean abiertos en esa misma topología?

Answer 1

Pregunta 1: Sí. Lo dice en la primera frase. A menos que no haya entendido bien su pregunta.

Pregunta 2: Toda base es un subconjunto de la topología que genera. Por definición, todos los conjuntos de una topología son abiertos. Por lo tanto, todos los conjuntos de una base también tienen que ser abiertos. De ahí el "no" a tu última pregunta en el comentario a la pregunta 2.

Answer 2

Pregunta 1: Sí, Willard seguía hablando de cobros $\mathscr{B}\subseteq\tau$ . Sin embargo, con un pequeño cambio en la redacción no tendría que serlo, porque podríamos deducir que $\mathscr{B}\subseteq\tau$ . En concreto, supongamos que $\langle X,\tau\rangle$ es un espacio topológico, y que $\mathscr{B}$ es una familia de subconjuntos de $X$ tal que

$(*)\quad$ para cada $G\subseteq X$ , $G\in\tau$ si para cada $p\in G$ hay algo de $B_p\in\mathscr{B}$ tal que $p\in B_p\subseteq G$ .

Si $B\in\mathscr{B}$ la condición se cumple si para cada $p\in B$ dejamos que $B_p=B$ Así que $B\in\tau$ y, por lo tanto $\mathscr{B}\subseteq\tau$ . Así, podría haber dicho que una familia $\mathscr{B}$ de subconjuntos de un espacio $X$ es una base para la topología de $X$ si $(*)$ retenciones. No habría tenido que especificar que los miembros de $\mathscr{B}$ son abiertos, porque eso se deduce de $(*)$ .

Pregunta 2: Estabas mal informado: los conjuntos abiertos básicos en un espacio topológico son siempre conjuntos abiertos en ese espacio. Si $\mathscr{B}$ es una base para una topología $\tau$ en un conjunto $X$ entonces $\mathscr{B}\subseteq\tau$ .

Pregunta 2": Hay una diferencia entre $\mathscr{B}$ es una base para la topología $\tau$ en $X$ y $\mathscr{B}$ es una base para alguna topología sobre el conjunto $X$ '. La definición de Willard al principio de tu pregunta es la definición de la primera de ellas. Sin embargo, también es posible caracterizar las colecciones de conjuntos que son bases de algunos topología en un conjunto dado.

Sea $X$ sea un conjunto, y sea $\mathscr{B}$ sea una familia de subconjuntos de $X$ . Entonces las siguientes son equivalentes:

1. $\mathscr{B}$ es una base para alguna topología en $X$ .
2. $\left\{\bigcup\mathscr{A}:\mathscr{A}\subseteq\mathscr{B}\right\}$ es una topología en $X$ .
3. $\bigcup\mathscr{B}=X$ y siempre que $p\in X$ , $B_1,B_2\in\mathscr{B}$ y $p\in B_1\cap B_2$ hay un $B\in\mathscr{B}$ tal que $p\in B\subseteq B_1\cap B_2$ .

(Merece la pena probarlo si aún no lo ha visto).

Answer 3

Q1: Los conjuntos base son abra en efecto: considere el elemento $\mathscr C$ subconjuntos.

P2: Mintió. O pensó en otra cosa..

Un sistema $\mathscr B$ de subconjuntos de un conjunto $X$ puede ser un base para una topología si $\forall B,C\in\mathscr B\ \forall x\in B\cap C\ \exists D\in\mathscr B$ tal que $x\in D\subseteq B\cap C$ '. Esto garantiza que $\tau$ tal como se ha definido anteriormente, se cerrará bajo intersección finita .