¿Qué grupos algebraicos p-ádicos son de tipo I?

Question

Fue demostrada por Jacques Dixmier (On unitary representations of algebraic Lie groups, Annales de l'institut Fourier, 7 (1957), pp. 315-328, doi: 10.5802/aif.73 , MR 20 #5820 , Zbl 0080.32101 )

que los grupos algebraicos sobre los reales son de tipo I. ¿Se conoce un resultado similar para los grupos algebraicos sobre campos locales no arquimedianos (posiblemente de característica 0)? Sólo conozco el resultado de Bernstein

http://www.math.tau.ac.il/~bernstei/Lista_de_publicaciones/textos_de_publicaciones/bernstein-P-tame-FAN.pdf

que los grupos algebraicos reductores sobre campos locales no arquimedianos, son de tipo I.

Answer 1

Duflo dio una clasificación de las representaciones unitarias irreducibles de cualquier grupo algebraico sobre un campo local de característica cero, en términos de la respuesta en el caso reductor (Duflo, Michel Théorie de Mackey pour les groupes de Lie algébriques. (Francés) [Mackey theory for algebraic Lie groups] Acta Math. 149 (1982), no. 3-4, 153-213.) Yo diría que el resultado de tipo I en general se deduce del resultado de tipo I de Bernstein en el caso reductivo por la clasificación de Duflo; pero no lo sé con certeza, y Duflo no enuncia tal resultado.

Answer 2

Teorema 1.2.3 (p18) de

MOHAMED HACHMI SLIMAN Teoría de Mackey de los grupos adelíticos Asterisco, volumen 115 (1984) Enlace en el sitio SMF

afirma que el $F$ -puntos de grupos algebraicos lineales sobre campos locales de característica cero $F$ son de tipo 1. El autor expone el resultado en un entorno ligeramente más general que permite algunos grupos de cobertura.