Límite del tamaño de grupo relativo a una base matricial

Question

Sea $G$ sea un grupo de $n \times n$ matrices. Supongamos que algún subconjunto $\{ g_j: 1 \leq j \leq n^2 \}$ de $G$ abarca el espacio de todos $n \times n$ matrices. Además supongamos que el conjunto $$\{ \overline{g_i}: 1 \leq j \leq n^2 \}$$ es un grupo en $PGL_n$ . ¿Qué podemos decir sobre el tamaño de $G$ ? ¿Debe ser el caso que $$|G|\geq n^2 \prod p_i$$ donde $\prod p_i$ es el producto de todos los primos distintos que dividen a $n$ ?

Cuando tomamos nuestro campo para ser algebraicamente cerrado y característica 0 creo que tengo grupos que saturan este límite para todos los $n$ . ¿Es cierto este límite? ¿Podemos hacerlo mejor? Principalmente interesado en hacer todo sobre $\mathbb{C}$ pero también sería interesante conocer otros campos.

Answer 1

Considero que la situación ha terminado $\mathbb{C}$ . Podemos sustituir $G$ por el subgrupo generado por el $g_j$ así que supongamos que $G$ es generado por el $g_j$ 's. Que $G$ contiene un conjunto que abarca el espacio de todas las matrices y produce que el centro de $G$ sólo contiene matrices escalares, y también que la inclusión $G \hookrightarrow \operatorname{GL}(n,\mathbb{C})$ es una representación absolutamente irreducible.
Que el $g_j$ modulo el centro forman un subgrupo significa que $|G: Z(G)| = n^2$ . Así que $G$ tiene una representación irreducible de grado $n$ con $n^2 = |G:Z(G)|$ . Estos grupos se denominan grupos de tipo central . DeMeyer y Janusz ( DeMeyer, F. R.; Janusz, G. J. , Grupos finitos con una representación irreducible de grado grande Matemáticas. Z. 108, 145-153 (1969). ZBL0169.03502 Teorema 2) han demostrado que un grupo finito es de tipo central si y sólo si cada Sylow $p$ -subgrupo $S$ de $G$ es de tipo central y $S\cap Z(G) =Z(S)$ . Ahora un $p$ -tiene siempre un centro no trivial de orden al menos $p$ . Así, el centro de $G$ tiene un orden divisible por todos los primos implicados en $n$ y tu atado sigue.
Como usted dice, hay grupos que alcanzan el límite: Un extraespecial $p$ -grupo de orden $p^{2k+1}$ tiene una representación irreducible y fiel de dimensión $p^k$ y la imagen es un grupo de matrices como en la pregunta con $n=p^k$ . Para materiales compuestos $n=p_1^{k_1}\dotsm p_m^{k_m}$ tomamos un producto directo $P_1 \times \dotsb \times P_m$ donde cada $P_i$ es extraespecial de orden $p_i^{2k_i+1}$ .

La situación debería ser la misma en cualquier campo de característica cero, porque las suposiciones de la pregunta implican que la representación natural dada es absolutamente irreducible, y también en campos en los que la característica no divide a $n$ . Cuando el primer $p$ divide $n$ entonces mi conjetura es que tal grupo de matrices sobre un campo de característica $p$ no es posible.