Estaba intentando hacer un ejercicio en mi libro de topología. Dice lo siguiente:
Sea $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ sea un homeomorfismo tal que $\exists p \in \mathbb{N}: f^p =$ identidad. Demostrar que $f$ tiene un punto fijo.
Creo que tengo una solución, pero en realidad nunca uso el hecho de que $f$ es un homeomorfismo. Es decir:
Sea $g(x)=f(x)-x$ . Entonces $g$ es una función continua. Ahora, digamos que $f(x)\geq x \ \forall x \in \mathbb{R}$ . Entonces $f^p(x) \geq f(x) \geq x = f^p(x) \forall x$ lo que implica $f(x)=x \forall x$ .
Del mismo modo, si $f(x)\leq x \forall x$ tenemos $f^p(x) \leq f(x) \leq x = f^p(x) \implies f(x) = x$ .
Por lo tanto, si $f(x)$ no es la identidad, entonces $\exists x_1, x_2 \in \mathbb{R}: f(x_1) < x_1, f(x_2) > x_2$ y porque $g$ es continua y $g(x_1)<0, g(x_2)>0$ entonces hay un punto $\bar{x}: g(\bar{x})=0 \implies f(\bar{x})=\bar{x}$ por lo que es un punto fijo.
En realidad no he utilizado el hecho de que $f$ es un homeomorfismo, sólo he utilizado el hecho de que es continua y tiene orden finito, ¿es mi demostración errónea?
