Encontrar todas las soluciones enteras positivas de $24x+18y=6420$ .
Aquí está mi trabajo.
Simplificando la ecuación se obtiene $4x+3y=1070$ . Obsérvese que esta ecuación tiene solución porque $\gcd (4,3)=1\mid 1070$ .
Utilizaremos el Algoritmo Euclidiano para resolver $4x+3y=1$ .
Tenemos que $$4=3(1)+1\\ 3=1(3)$$ Por lo tanto $$1=4-3(1)=4(1)-3(1).$$ De ahí que una solución $(x_0,y_0)$ a la ecuación es $(1070,-1070)$ . Sabemos que todas las soluciones de la ecuación $4x+3y=1070$ son de la forma $(x_0 + \dfrac{b}{d}k, y_0-\dfrac{a}{d}k),$ donde $b=3$ , $a=4$ , $d=\gcd (4,3)=1$ y $k\in\mathbb{Z}$ . Por lo tanto, para encontrar todas las soluciones enteras positivas, tenemos que resolver $1070+4k> 0\;(1)$ y $-1070-3k > 0\;(2)$ . Simplificación $(1)$ da $k >-\dfrac{1070}{4}=-267.5$ y simplificando $(2)$ da $k<-\dfrac{1070}{3}=-356\dfrac{2}{3}$ . Por lo tanto, como no hay intersección entre el conjunto de soluciones de $(1)$ y $(2)$ la ecuación no tiene soluciones positivas.
Edición: Se ha actualizado el problema.
