Prueba elegante de que una función racional no tiene singularidad esencial.

Question

Teorema III de Análisis complejo de Townshends tiene una prueba de que las funciones racionales no tienen singularidades esenciales.

Sólo me preguntaba, ¿hay alguna prueba especialmente elegante de que una función racional no tiene singularidades esenciales?

Answer 1

Puesto que cualquier función racional es de la forma $f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}$ donde $p,q$ son polinomios, las únicas singularidades de $f(z)$ son los ceros de $q(z)$ y $\infty$ . $q(z)$ es un polinomio, por lo que todos sus ceros son de orden finito - por lo que son polos de ese orden (suponiendo que $f$ se reduce, es decir $p,q$ no tienen ceros comunes). En función de los grados de $p,q$ es fácil comprobar que $\lim_{z\to\infty}f(z)$ es $0$ , $\infty$ o el cociente de los coeficientes principales de $p,q$ . En cualquier caso existe, así que $\infty$ no puede ser singularidad esencial.