Tensor de tensiones: ¿covariante o contravariante?

Question

El tensor de esfuerzo de la mecánica del continuo (es decir, el negativo de la parte espacio-espacial del tensor de esfuerzo-energía de la relatividad 1 ) adopta la forma: $$\newcommand{\p}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\f}[2]{\frac{ #1}{ #2}} \newcommand{\l}[0]{\left(} \newcommand{\r}[0]{\right)} \newcommand{\mean}[1]{\langle #1 \rangle}\newcommand{\e}[0]{\varepsilon} \sigma_{ij}=-p\delta_{ij}+\eta \l\p{v_i}{x_j}+\p{v_j}{x_i}\r . \tag{1}$$ Como su nombre indica, se trata de un tensor, pero no tengo claro qué tipo de tensor es y no encuentro ningún recurso que me lo diga, y supongo que (1) no está escrito en notación tensorial (es decir, en la posición correcta del índice). Así que mi pregunta es la siguiente: ¿cómo escribimos el tensor de tensión (1) en notación tensorial real?

_{¹<a href="https://physics.stackexchange.com/q/301248/">Tensor tensión-energía: ¿Su relación con la fuerza?</a>}

Answer 1

1. Parece que OP esencialmente quiere considerar un incompresible Fluido newtoniano en una 3-manifold riemanniana $(M,g)$ (a diferencia de, por ejemplo, un fluido relativista perfecto ).

2. A continuación, debemos escribir las coordenadas locales $x^i$ con un índice superior (en lugar de inferior), como sugiere el usuario AccidentalFourierTransform en un comentario anterior.

3. La delta de Kronecker debe sustituirse por el tensor métrico, véase, por ejemplo. este Correo de Phys.SE.

4. Derivadas parciales $\partial_i$ debe sustituirse por ( Levi-Civita ) derivadas covariantes $\nabla_{\!i}$ . Este punto 4 y el anterior punto 3 también fueron sugeridos en la respuesta por el usuario Chester Miller.

5. Utilice la isomorfismo musical subir y bajar índices $v_i=g_{ij}v^j$ en el campo de velocidad incompresible, ${\rm div} (v)= \nabla_{\!i}v^i=0$ .

6. Entonces ambos lados de la eq. (1) de OP se convierten en un tensor covariante simétrico (0,2) $$ \sigma_{ij}~=~-pg_{ij}+\eta \left(\nabla_{\!i} v_j+ \nabla_{\!j} v_i\right), \qquad p~=~ -\frac{1}{3} g^{ij}\sigma_{ij}. \tag{1'} $$

Answer 2

La ecuación que has dado está expresada en términos de coordenadas cartesianas, donde la distinción entre componentes covariantes y contravariantes no existe. Si quieres expresar esta ecuación constitutiva del fluido newtoniano en términos de notación tensorial "real", las derivadas parciales del lado derecho deben sustituirse por derivadas covariantes, y la delta de Kronecker debe sustituirse por la representación adecuadamente indexada del tensor métrico.