Antecedentes (sáltate esto si lo sabes todo)
A mí también me preocupó esto cuando lo aprendí por primera vez. Básicamente, creo que lo más fácil es pensar primero en el óctuple camino de forma mecánica cuántica y preocuparse después por la QFT. Así que eso es lo que haré en esta respuesta.
En la mecánica cuántica (al menos según Wigner) una partícula es un vector base en alguna representación del grupo de simetría completo de la teoría (Poincare $\times$ interno). Las partículas fundamentales se definen por estar en la representación (anti) fundamental del grupo de simetría interno.
En la forma octogonal, hipotetizamos que el hamiltoniano relevante para nuestra teoría QM tiene un $SU(3)$ simetría y mira las consecuencias. También restringimos nuestra atención a los fermiones de espín 1/2. Esto significa que, por definición, hay tres partículas fundamentales (los quarks up, down y strange) junto con tres antipartículas fundamentales.
Ahora sabemos por la QM básica que los estados multipartícula se construyen a partir de productos tensoriales de estados de una sola partícula. Una forma matemática útil de enumerar las posibles partículas es encontrar todos los productos tensoriales de las representaciones fundamentales y antifundamentales. Estas se descomponen en representaciones irreducibles que permiten contar fácilmente el número de grados de libertad y sus propiedades.
Cómo descomponer un producto tensorial en una suma de irps
El procedimiento general se conoce como descomposición de Clebsch-Gordan. Es completamente análogo al proceso por el que se pasa cuando se suman los momentos angulares en QM. Incluso puedes calcular los coeficientes que te dicen exactamente cómo se descompone cualquier estado del producto tensorial para un grupo de simetría general $SU(N)$ , ver ici .
Por supuesto, en la realidad esta complejidad no suele ser necesaria para determinar el contenido de partículas de la teoría. En su lugar se puede hacer lo siguiente.
Para determinar la descomposición irrep de $m\otimes n$
- trazar los diagramas de pesos de $m$ y $n$
- trazar el diagrama de pesos de $m\otimes n$ que se obtiene sumando (vectorialmente) los pesos de los dos primeros diagramas de todas las formas posibles. Comprueba: deberías obtener $mn$ pesos
- Encontrar el peso "más alto" (normalmente el que tiene mayor distancia al origen) e identificar a qué irrep pertenece. Para ello hay que calcular los irrep más altos, o buscar sus diagramas de pesos. Anota este irrep.
- Elimina todos los demás pesos del diagrama que corresponden al irrep para el peso más alto que has encontrado.
- Repite los pasos 3 y 4 hasta que no queden pesas.
La razón por la que esto funciona es bastante transparente: en cada iteración del algoritmo sólo se identifica un subespacio invariante. Recordar que los irreps se etiquetan por sus pesos más altos completa el argumento.
Si quieres más detalles te recomiendo que leas Notas de Jan Gutowski en particular la sección 4.3.
P.D. Acabo de leer tu perfil: ¡espero que tengas un buen comienzo en el Imperial! Seré estudiante de doctorado en Queen Mary a partir de enero, así que tal vez nos veamos en una reunión del Triángulo de Londres.
