Determinar si una función es una biyección

Question

Me piden que determine si una función $f(x) = x^{5} + 1$ es una biyección en $\mathcal{R}$ . Demostrando que la función es uno a uno, obtengo lo siguiente:

$\begin{array}{lcl}f(x)& = &f(y)\\x^{5} + 1& = &y^{5} + 1\\x^{5}& = &y^{5}\\x&=&y\end{array}$

Sin embargo, estoy un poco confundido acerca de encontrar si la función es onto. Según la definición $\forall x\exists y(f(x) = y)$ Probé lo siguiente:

$\begin{array}{lcl}y& = &f(x)\\ y& = &x^{5}+1\\x^5& = &y-1\\x& = &(y-1)^{\frac{1}{5}}\end{array}$

Sustituyendo la parte derecha de la ecuación por $x$ en la definición anterior para las funciones onto, obtengo lo siguiente: $$\forall x\exists (y-1)^{\frac{1}{5}}f[(y-1)^{\frac{1}{5}}=y]$$

Sin embargo, al introducir varios valores para $y$ la ecuación siempre parece evaluarse al valor de $x$ . Llegué a la conclusión de que esto no era onto, y por lo tanto no una biyección, pero la respuesta en mi libro dice que es de hecho una biyección. ¿Qué estoy haciendo mal?

Edición: Error tonto -- simplemente estaba sustituyendo el valor de $x$ como cuerpo de la función, sin tener en cuenta la definición original de la función.

Answer 1

La definición de onto es $\forall y\exists x(f(x)=y)$ es decir, cada elemento del codominio tiene una preimagen en el dominio.

Answer 2

Quieres demostrar que $\forall y \exists x(f(x)=y)$ . Esto dice lo que quieres. Por supuesto, puede intercambiar los papeles de $x$ y $y$ pero eso chocará con la notación ordinaria $y=f(x)$ y puede causar al lector, y a usted, cierta confusión. Usted quiere mostrar que todo el mundo, como $-47\pi$ es $f$ de algo.

Y en esencia lo has conseguido: Para cualquier $y$ , dejemos que $x=(y-1)^{1/5}$ .

Dependiendo del tipo de curso que esté realizando, es posible que deba pruebe que para cualquier $t$ hay un $s$ tal que $s^5=t$ es decir, que la quinta raíz siempre existe. Esto puede hacerse de varias maneras. En un curso de cálculo se hace utilizando el Teorema del Valor Intermedio.

Cuidado con el uso de cuantificadores. En el post los has utilizado de forma no estándar. Quizá sea mejor no utilizarlos en absoluto.