Demostración del lema 13.1 en Munkres

Question

No entiendo el último paso de la siguiente prueba. ¿Podría alguien explicármelo?

Lemma 13.1: Sea $X$ sea un conjunto; sea $\mathcal{B}$ sea una base para una topología $\mathcal{T}$ en $X$ . Entonces $\mathcal{T}$ es igual a la colección de todas las uniones de elementos de $\mathcal{B}$ .

Prueba : Los elementos de $\mathcal{B}$ son elementos de $\mathcal{T}$ . Porque $\mathcal{T}$ es una topología, la unión de elementos de $\mathcal{B}$ también son elementos de $\mathcal{T}$ .

A la inversa, dado $U\in\mathcal{T}$ elija para cada $x\in U$ un elemento $B_x$ de $\mathcal{B}$ tal que $x\in B_x\subset U$ .

Entonces $U=\bigcup_{x\in U}B_x$ , ----------------------------------------------- [¿Cómo??]

así que $U$ es igual a la unión de elementos de $\mathcal{B}$ .

Answer 1

Usted tiene $U \subseteq \bigcup_{x\in U}B_x$ en cuanto a $x \in U$ existe $B_x \in \mathcal B$ tal que $x\in B_x\subseteq U$ .

Por el contrario, todos los $B_x$ se incluyen en $U$ . Por lo tanto su unión también lo es.