cómo reducir $(1-\alpha)^{T-i}$ en una suma

Question

Me dan la siguiente prueba:

\begin{align} & \sum^T_{i=k} \alpha^i(1-\alpha)^{T-i} \binom{T}{i} \\&=\sum^T_{i=k} \alpha^i \binom{T}{i} \sum_{j=0}^{T-i}(-\alpha)^j\binom{T-i}{j} \\&=\alpha^k \sum^{T-k}_{i=0} \frac{T!i!}{(T-k)!(i+k)!} \sum^{T-k-i}_{j=0} \alpha^i (-\alpha)^j \frac{(T-k)!}{i!j!(T-k-i-j)!} \end{align}

Me gustaría saber cómo $$(1-\alpha)^{T-i}$$ convertido en $$\sum_{j=0}^{T-i}(-\alpha)^j\binom{T-i}{j}$$ y las reglas utilizadas para convertir la segunda línea en tercera línea.

Answer 1

Utilice la teorema del binomio

$$ (x + y)^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} x^{n-k} y^{k} $$

En tu caso sólo tienes que hacer $x = 1$ , $y = -\alpha$ y $n = T-i$ :

$$ (1 -\alpha)^{T-i} = \sum_{k=0}^{T-i} {T-i\choose k} (-\alpha)^{k} $$