Pon un ejemplo de matriz normal $B_{3x3}$ tal que $B$ no es diagonal y uno de sus eigenspaces es $U=sp\{(1,0,-1),(0,1,1)\}$ .

Question

Dado el espacio producto interior $\mathbb R^3$ y $U=sp\{(1,0,-1),(0,1,1)\}$ ponga un ejemplo de matriz normal $B_{3x3}$ tal que $B$ no es diagonal y uno de sus eigenspaces es $U$ .

No sé muy bien cómo empezar. Ya he encontrado que $U^\perp = sp\{(-1,1,-1)\}$ .

También sé que $\forall v\in \mathbb R^3 \ : \ v=P_U(v) + P_{U^\perp}(v)$ donde $P_U(v)$ es la proyección del vector $v$ en el subespacio $U$ y $P_{U^\perp}(v)$ es la proyección del vector $v$ en el subespacio $U^\perp$ .

Intenté construir $B$ utilizando la fuerza bruta (es decir, adivinando y adivinando...) pero no me sirvió de mucho.

Answer 1

Sea $u_1:=(1,0,-1)^T$ , $u_2:=(0,1,1)^T$ y lo que encontraste, $u_3:=(-1,1,-1)^T$ .

Así que estamos buscando una matriz $M$ tal que $$Mu_1=\lambda u_1\\ Mu_2=\lambda u_2\\ Mu_3=\mu u_3$$ donde $\lambda\ne\mu$ son (casi) arbitrarias. Puede calcular con estas variables $\lambda,\mu$ y ver cuándo la matriz resultante será diagonal, o bien podría tomar primero valores concretos (por ejemplo $\lambda=0$ y $\mu=3$ ) para facilitar los cálculos.

Ahora, si puedes expresar la base estándar $e_1,e_2,e_3$ mediante cobinaciones lineales de $u_1,u_2,u_3$ entonces también puede expresar $Me_1,Me_2,Me_3$ que no son más que columnas de $M$ .

Para empezar, para llegar a $e_3$ calcularía $u_1-u_2+u_3$ .